In this paper, we study the theory of linearized gravity and prove the linear stability of Schwarzschild black holes as solutions of the vacuum Einstein equations. In particular, we prove that solutions to the linearized vacuum Einstein equations centered at a Schwarzschild metric, with suitably regular initial data, remain uniformly bounded and decay to a linearized Kerr metric on the exterior region. We employ Hodge decomposition to split the solution into closed and co-closed portions, respectively identified with even-parity and odd-parity solutions in the physics literature. For the co-closed portion, we extend previous results by the first two authors, deriving Regge-Wheeler type equations for two gauge-invariant master quantities without the earlier paper's need of axisymmetry. For the closed portion, we build upon earlier work of Zerilli and Moncrief, wherein the authors derive an equation for a gauge-invariant master quantity in a spherical harmonic decomposition. We work with gauge-invariant quantities at the level of perturbed connection coefficients, with the initial value problem formulated on Cauchy data sets. With the choice of an appropriate gauge in each of the two portions, decay estimates on these decoupled quantities are used to establish decay of the metric coefficients of the solution, completing the proof of linear stability. Our result differs from that of Dafermos-Holzegel-Rodnianski, both in our choice of gauge and in our identification and utilization of lower-level gauge-invariant master quantities.

中文翻译：

---

Schwarzschild 时空的线性稳定性：度量系数的衰减

在本文中，我们研究了线性化引力理论，并证明了 Schwarzschild 黑洞作为真空爱因斯坦方程的解的线性稳定性。特别是，我们证明了以 Schwarzschild 度量为中心的线性化真空爱因斯坦方程的解，具有适当的规则初始数据，保持一致有界，并在外部区域衰减为线性化克尔度量。我们使用 Hodge 分解将解分成封闭和共同封闭的部分，分别用物理文献中的偶校验和奇校验解来标识。对于共同闭合部分，我们扩展了前两位作者的先前结果，推导出了两个规范不变主量的 Regge-Wheeler 类型方程，而无需早期论文的轴对称性。对于封闭部分，我们以 Zerilli 和 Moncrief 的早期工作为基础，其中作者推导出了球谐分解中规范不变主量的方程。我们在扰动连接系数级别处理规范不变量，并在柯西数据集上制定初始值问题。通过在两个部分中的每一个中选择合适的规范，对这些解耦量的衰减估计用于建立解的度量系数的衰减，完成线性稳定性的证明。我们的结果与 Dafermos-Holzegel-Rodnianski 的结果不同，无论是在我们选择的规范方面，还是在我们对较低级别规范不变主数量的识别和利用方面。其中作者在球谐分解中推导出规范不变主量的方程。我们在扰动连接系数级别处理规范不变量，并在柯西数据集上制定初始值问题。通过在两个部分中的每一个中选择合适的规范，对这些解耦量的衰减估计用于建立解的度量系数的衰减，完成线性稳定性的证明。我们的结果与 Dafermos-Holzegel-Rodnianski 的结果不同，无论是在我们选择的规范方面，还是在我们对较低级别规范不变主数量的识别和利用方面。其中作者在球谐分解中推导出规范不变主量的方程。我们在扰动连接系数级别处理规范不变量，并在柯西数据集上制定初始值问题。通过在两个部分中的每一个中选择合适的规范，对这些解耦量的衰减估计用于建立解的度量系数的衰减，完成线性稳定性的证明。我们的结果与 Dafermos-Holzegel-Rodnianski 的结果不同，无论是在我们选择的规范方面，还是在我们对较低级别规范不变主数量的识别和利用方面。通过在两个部分中的每一个中选择合适的规范，对这些解耦量的衰减估计用于建立解的度量系数的衰减，完成线性稳定性的证明。我们的结果与 Dafermos-Holzegel-Rodnianski 的结果不同，无论是在我们选择的规范方面，还是在我们对较低级别规范不变主数量的识别和利用方面。通过在两个部分中的每一个中选择合适的规范，对这些解耦量的衰减估计用于建立解的度量系数的衰减，完成线性稳定性的证明。我们的结果与 Dafermos-Holzegel-Rodnianski 的结果不同，无论是在我们选择的规范方面，还是在我们对较低级别规范不变主数量的识别和利用方面。