For an elliptic curve $E$ over an abelian extension $k/K$ with CM by $K$ of Shimura type, the L-functions of its $[k:K]$ Galois representations are Mellin transforms of Hecke theta functions; a modular parametrization (surjective map) from a modular curve to $E$ pulls back the $1$-forms on $E$ to give the Hecke theta functions. This article refines the study of our earlier work and shows that certain class of chiral correlation functions in Type II string theory with $[E]_\mathbb{C}$ ($E$ as real analytic manifold) as a target space yield the same Hecke theta functions as objects on the modular curve. The Kähler parameter of the target space $[E]_\mathbb{C}$ in string theory plays the role of the index (partially ordered) set in defining the projective/direct limit of modular curves.

中文翻译：

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作为 Polyakov 路径积分的模块化参数化：以 CM 椭圆曲线为目标空间的情况

对于在阿贝尔扩展 $k/K$ 上的椭圆曲线 $E$，CM by $K$ 的 Shimura 类型，其 $[k:K]$ 伽罗瓦表示的 L-函数是 Hecke theta 函数的 Mellin 变换；从模块化曲线到 $E$ 的模块化参数化（满射图）拉回 $E$ 上的 $1$-forms 以提供 Hecke theta 函数。本文改进了我们早期工作的研究，并表明以 $[E]_\mathbb{C}$（$E$ 作为实解析流形）为目标空间的 II 型弦论中的某些类手性相关函数产生相同的 Hecke theta 函数作为模曲线上的对象。弦论中目标空间 $[E]_\mathbb{C}$ 的 Kähler 参数在定义模曲线的射影/直接极限时起到了索引（部分有序）集的作用。