Asymptotic properties of the sequences ( a ) {Pj}j=1∞ $\{P^{j}\}_{j=1}^{\infty}$and ( b ) {j−1∑i=0j−1Pi}j=1∞ $\{ j^{-1} \sum _{i=0}^{j-1} P^{i}\}_{j=1}^{\infty}$ are studied for g ∈ G = { f ∈ L 1 ( I ) : f ≥ 0 and ‖ f ‖ = 1}, where P : L 1 ( I ) → L 1 ( I ) is a Markov operator defined by Pf:=∫Pyfdp(y) $Pf:= \int P_{y}f\, dp(y) $for f ∈ L 1 ; { P y } y∈Y is the family of the Frobenius-Perron operators associated with a family { φ y } y∈Y of nonsingular Markov maps defined on a subset I ⊆ ℝ d ; and the index y runs over a probability space ( Y , Σ ( Y ), p ). Asymptotic properties of the sequences ( a ) and ( b ), of the Markov operator P , are closely connected with the asymptotic properties of the sequence of random vectors xj=φξj(xj−1) $x_{j}=\varphi_{\xi_{j}}(x_{j-1})$for j = 1,2, . . .,where {ξj}j=1∞ $\{\xi_{j}\}_{j=1}^{\infty}$is a sequence of Y -valued independent random elements with common probability distribution p . An operator-theoretic analogue of Rényi’s Condition is introduced for the family { P y } y∈Y of the Frobenius-Perron operators. It is proved that under some additional assumptions this condition implies the L 1 - convergence of the sequences ( a ) and ( b ) to a unique g 0 ∈ G . The general result is applied to some families { φ y } y∈Y of smooth Markov maps in ℝ d .

中文翻译：

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ℝd 中由随机扰动的马尔可夫映射族生成的马尔可夫算子的失真不等式

序列 ( a ) {Pj}j=1∞ $\{P^{j}\}_{j=1}^{\infty}$and ( b ) {j−1∑i=0j− 的渐近性质1Pi}j=1∞ $\{ j^{-1} \sum _{i=0}^{j-1} P^{i}\}_{j=1}^{\infty}$ 研究对于 g ∈ G = { f ∈ L 1 ( I ) : f ≥ 0 和 ‖ f ‖ = 1}，其中 P : L 1 ( I ) → L 1 ( I ) 是由 Pf:=∫Pyfdp 定义的马尔可夫算子(y) $Pf:= \int P_{y}f\, dp(y) $for f ∈ L 1 ; { P y } y∈Y 是与定义在子集 I ⊆ ℝ d 上的非奇异马尔可夫映射族 { φ y } y∈Y 相关联的 Frobenius-Perron 算子族；并且索引 y 在概率空间 (Y, Σ (Y), p) 上运行。马尔可夫算子 P 的序列 ( a ) 和 ( b ) 的渐近性质与随机向量序列 xj=φξj(xj−1) $x_{j}=\varphi_{\ xi_{j}}(x_{j-1})$for j = 1,2, . . ., 其中 {ξj}j=1∞ $\{\xi_{j}\}_{j=1}^{\infty}$ 是具有共同概率分布 p 的 Y 值独立随机元素序列。为 Frobenius-Perron 算子的族 { P y } y∈Y 引入了 Rényi 条件的算子理论模拟。已经证明，在一些额外的假设下，这个条件意味着 L 1 - 序列 (a) 和 (b) 收敛到唯一的 g 0 ∈ G。一般结果适用于 ℝ d 中平滑马尔可夫映射的一些族 { φ y } y∈Y。已经证明，在一些额外的假设下，这个条件意味着 L 1 - 序列 (a) 和 (b) 收敛到唯一的 g 0 ∈ G。一般结果适用于 ℝ d 中平滑马尔可夫映射的一些族 { φ y } y∈Y。已经证明，在一些额外的假设下，这个条件意味着 L 1 - 序列 (a) 和 (b) 收敛到唯一的 g 0 ∈ G。一般结果适用于 ℝ d 中平滑马尔可夫映射的一些族 { φ y } y∈Y。