In this paper, we establish the second boundary behavior of the unique strictly convex solution to a singular Dirichlet problem for the Monge-Ampère equation det(D2u)=b(x)g(−u),u<0 in Ω and u=0 on ∂Ω, $$\mbox{ det}(D^{2} u)=b(x)g(-u),\,u<0 \mbox{ in }\Omega \mbox{ and } u=0 \mbox{ on }\partial\Omega, $$ where Ω is a bounded, smooth and strictly convex domain in ℝ N ( N ≥ 2), b ∈ C ∞ (Ω) is positive and may be singular (including critical singular) or vanish on the boundary, g ∈ C 1 ((0, ∞), (0, ∞)) is decreasing on (0, ∞) with lim t → 0 + g ( t ) = ∞ $ \lim\limits_{t\rightarrow0^{+}}g(t)=\infty $ and g is normalized regularly varying at zero with index − γ ( γ >1). Our results reveal the refined influence of the highest and the lowest values of the ( N − 1)-th curvature on the second boundary behavior of the unique strictly convex solution to the problem.

中文翻译：

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奇异 Monge-Ampère 方程的唯一严格凸解的改进的第二边界行为

在本文中，我们建立了 Monge-Ampère 方程 det(D2u)=b(x)g(−u),u<0 in Ω 和 u= 的奇异 Dirichlet 问题的唯一严格凸解的第二边界行为0 上 ∂Ω, $$\mbox{ det}(D^{2} u)=b(x)g(-u),\,u<0 \mbox{ 在 }\Omega \mbox{ 和 } u= 0 \mbox{ on }\partial\Omega, $$ 其中 Ω 是 ℝ N ( N ≥ 2) 中的有界、光滑和严格凸域，b ∈ C ∞ (Ω) 是正的并且可能是奇异的（包括临界奇异) 或消失在边界上，g ∈ C 1 ((0, ∞), (0, ∞)) 在 (0, ∞) 上递减， lim t → 0 + g ( t ) = ∞ $ \lim\limits_{ t\rightarrow0^{+}}g(t)=\infty $ 并且 g 被归一化，在零处有规律地变化，索引为 − γ ( γ >1)。我们的结果揭示了 (N-1)-th 曲率的最高和最低值对问题的唯一严格凸解的第二边界行为的精细影响。