The algebras of valuations on $S^6$ and $S^7$ invariant under the actions of $\mathrm G_2$ and $\mathrm{Spin}(7)$ are shown to be isomorphic to the algebra of translation-invariant valuations on the tangent space at a point invariant under the action of the isotropy group. This is in analogy with the cases of real and complex space forms, suggesting the possibility that the same phenomenon holds in all Riemannian isotropic spaces. Based on the description of the algebras the full array of kinematic formulas for invariant valuations and curvature measures in $S^6$ and $S^7$ is computed. A key technical point is an extension of the classical theorems of Klain and Schneider on simple valuations.

中文翻译：

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异常球体的积分几何

在 $\mathrm G_2$ 和 $\mathrm{Spin}(7)$ 的作用下，$S^6$ 和 $S^7$ 不变的估值代数被证明与平移不变估值的代数同构在各向同性群作用下不变点的切线空间上。这与实空间形式和复空间形式的情况类似，表明在所有黎曼各向同性空间中存在相同现象的可能性。基于对代数的描述，计算了 $S^6$ 和 $S^7$ 中不变估值和曲率度量的完整运动学公式。一个关键的技术点是对 Klain 和 Schneider 的经典定理在简单估值上的扩展。