Soit faict le plan ou Ignographie du quarré A.B.C.D. & pour l’autre plan qui doibt estre l’Orthograhie faut tirer une ligne de terre E.F. & marquer sur icelle un des costez du quarré aux poincts G.H. puis fault asoir le poinct d’eslongnement à volonté qui sera marqué O. puis tirer la ligne taillée I.L. apres faut tirer les rais visuels de chacun angle du quarré au poinct O. lesquels couperont la ligne taillée aux poincts 3.1.2.4. & apres faut eslever le poinct de hauteur sur la ligne de terre de l’Orthographie & qu’iceluy poinct soit aussi loing de la ligne taillée comme celuy d’eslongnement apres tirez les rais visuels des poincts G.H, audict poinct de hauteur marqué M. lesquels couperont la ligne taillée aux poincts aux 5.6. apres fauldra faire le transport des lignes racoursies qui sont sur les deux lignes taillées en ceste façon.
Salomon de Caus, La perspective avec la raison des ombres et miroirs, 1612.
Résumé
Il est tentant de considérer l’œuvre mathématique de Girard Desargues, plus particulièrement son Brouillon Project sur les coniques, comme un travail de mathématiques appliquées à l’art de la perspective. Nous voudrions montrer dans cet article qu’il est sans doute plus pertinent de considérer que Desargues fait des mathématiques en praticien de la perspective ou, plus précisément, que son œuvre peut être lue comme un travail de perspective appliquée à la géométrie. Nous allons analyser quelques passages de l’œuvre du Lyonnais en adoptant ce point de vue perspectiviste afin de montrer comment ce parti pris permet d’éclairer les aspects novateurs d’un contenu mathématique parfois difficile à saisir dans le style touffu de l’auteur. Nous montrerons ensuite comment cette manière de faire de Desargues peut se retrouver chez Philippe de la Hire et Jacques-François le Poîvre, ce qui les a menés à l’idée nouvelle de considérer une transformation du plan dans lui-même comme objet explicite de la géométrie.
Abstract
It is tempting to consider Girard Desagues’ mathematical work, more precisely his Brouillon project on conics, as a work of mathematics applied to perspective. We would like to show in this text that it is probably more pertinent to consider that Desargues does mathematics as a practitionner of the art of perspective. We shall analyse a few extracts of Desargues’ work with this point of view in mind so as to shed light on his innovative ideas that could be hard to understand in his sometimes obscure style. We shall show how this way of doing geometry can be also be found in the works Philippe de la Hire and Jacques-Francois le Poîvre, leading them to consider a transformation of the plane into itself as an explicited mathematical object.
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Notes
Ce texte, (Desargues 1636), est disponible en ligne sur le site Gallica de la Bibliothèque nationale de France.
Sieur Girard Desargues Lyonnais.
ou représentations.
Notons qu’il est très difficile aujourd’hui de démêler quelle influence a pu avoir le travail de Desargues sur quelqu’un comme Philippe de la Hire. On notera cependant que son père, Laurent, était un proche de Desargues, que son premier texte sur le sujet des coniques est paru dans un ouvrage d’Abraham Bosse, lui aussi proche de Desargues, et qu’enfin, dans ses Nouveaux Éléments des Sections coniques de 1679, il reprend une partie de la terminologie arboricole du Lyonnais. C’est pourquoi nous nous contenterons ici de simples échos, faute d’avoir en main le matériau permettant de confirmer ou d’infirmer une influence directe.
Voir par exemple (Kline 1953), p. 144 sq.
voir (Andersen 1991).
Voir (Field 1987).
Ceci est un sujet controversé mais nous verrons que, par la présentation qui en est donnée par ces auteurs, il s’agit bien de transformations du plan dans lui-même et non de simples projections ou transformations d’une figure sur une autre.
Voir (Bosse 1648).
Voir (de La Hire 1673).
Voir (Le Poîvre 1704).
Sieur Girard Desargues Lyonnais.
See Judith Field’s and Jeremy Gray’s book (Field and Gray 1987) for an english translation and commentary of this text.
Translation by Field and Gray, op. cit.
«fourmilière» in Desargues’ words.
« lieux», which probably means “geometric loci” in this context.
See Field and Gray, op. cit., for a translation of this text, as well as commentaries and some details of its mathematical content.
Translation by Field and Gray, op. cit.
It is very hard to state precisely what the influence of Desargues on Philippe de la Hire may have been. Note that Philippe’s father, Laurent, had close a relationship with Desargues, that his first publication on conics was published in a book by Abraham Bosse, also a close relative of Desargues, and that in his Nouveaux Éléments de Sections coniques, published in 1679, he uses part of the “arboricultural” terms of Desargues. That is why we shall use the word of “echoes” instead of the stronger one of “influence”.
see for instance (Kline 1953), p. 144 sq.
see (Andersen 1991).
see (Field 1987).
This is a quite debated issue but we shall see that, according to the way the authors present things, it really is a transformation of the plane rather than a simple projection or transformation of a figure into another.
Texte disponible sur le site Gallica de la Bibliothèque nationale de France.
Voir (Anglade and Briend 2018)
Nous renvoyons à (Anglade and Briend 2019) pour des arguments plaidant en la faveur de cette idée.
Voir l’Introduction du présent article.
Nous renvoyons ici à l’unique exemplaire connu de l’original conservé à la Bibliothèque nationale de France dans la réserve des livres rares sous la référence RESM-V-276 et disponible sur le site Gallica.
Voir l’article sus-cité de Marie Anglade et Jean-Yves Briend pour les détails de cette preuve.
Pour une analyse complète de cette théorie, voir l’article de Marie Anglade et Jean-Yves Briend (Anglade and Briend 2019).
La notion d’involution a ceci de remarquable qu’elle est agrégative: une fois donnés trois couples de points en involution, on peut leur ajouter d’autres couples de points pour former une involution d’autant de couples qu’il est nécessaire, voir l’article de Marie Anglade et Anglade and Briend (2017).
Celle du plan \(\mathop {{\mathcal {P}}}\nolimits _0\) quand on le regarde depuis le point \(\hbox {S}\).
Le passage qui suit est un peu technique et nous incitons le lecteur à ne pas s’y attarder.
Voir l’article de Marie Anglade et Jean-Yves Briend sur l’involution sus-cité. Nous n’utiliserons ici cette notion que parce qu’elle est reliée à celle de moyenne proportionnelle, voir un peu plus bas.
Date de sa découverte par Michel Chasles.
Date de la redécouverte d’un exemplaire de l’original, voir (Taton 1951).
Manuscrit Ms. 1595 de la bibliothèque de l’Institut de France.
Nouvelle méthode en géométrie pour les sections des superficies coniques et cylindriques, qui ont pour bases des cercles, ou des Paraboles, des Elipses, & des Hyperboles, par Ph. de la Hire, Parisien, chez Thomas Moette, Paris, 1673.
Remarquons que plutôt qu’une droite par h, la Hire choisit un point x sur la directrice pour former (hx).
Šír, dans sa thèse, n’en a pas tenu compte, ce qui rend sa descritption de cette partie du texte de la Hire à la fois confuse et non conforme à l’original.
Notons que ces deux voies seront toutes deux mises en œuvre lors de la mise en place de la géométrie projective au début du XIX\({}^e\) siècle.
Traité des sections du cylindre et du cone, considérées dans le solide, & dans le Plan, avec des Démonstrations simples & nouvelles, chez Barthélémy Girin, Paris, 1704.
Voir pour ce texte le livre de Taton (1951).
c-à-d. par le relief et par le plan.
Comme «bornes ou liens» comme l’écrit Desargues, reprenant là une terminologie qui n’est pas sans rappeler celle des arpenteurs ou des architectes, terminologie qu’il employait déjà dans le Brouillon Project.
Voir la Fig. 17.
voir l’édition de Eecke (1938).
Voir l’édition de Unguru (1977).
Voir le fragment de l’Introduction à la Géométrie dans (Pascal 1914), p. 291–294.
Notons au passage qu’aujourd’hui, dans l’enseignement de la notion de variété différentielle, on utilise souvent l’image d’un changement d’observateur, ou de point de vue, pour parler des changements de cartes.
Nous nous contenterons de citer la remarquable somme de Andersen (2007).
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Briend, JY. Mathématiques en perspective: Desargues, la Hire, le Poîvre. Arch. Hist. Exact Sci. 75, 699–736 (2021). https://doi.org/10.1007/s00407-021-00275-2
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