Abstract
The introduction of a new analytical method, due fundamentally to François Viète and René Descartes and the later dissemination of their works, resulted in a profound change in the way of thinking and doing mathematics. This change, known as process of algebrization, occurred during the seventeenth and early eighteenth centuries and led to a great transformation in mathematics. Among many other consequences, this process gave rise to the treatment of the results in the classic treatises with the new analytical method, which allowed new visions of such treatises and the obtaining of new results. Among those treatises is the Arithmetic of Diophantus of Alexandria (approx. 200–284) which was written, using the new algebraic language, by the French mathematician Jacques Ozanam (1640–1718), who in addition to profusely increasing the original problems of Diophantus, solved them in a general way, thus obtaining many geometric consequences. The work is handwritten, it has never been published, it has been lost for almost 300 years, and the known references show its importance. We will show that Ozanam’s manuscript was quoted as an important work on several occasions by others mathematicians of the time, among whom G. W. Leibniz stands out. Once the manuscript has been located, our aim in this article is to show and analyze this work of Ozanam, its content, its notation and its structure and how, through the new algebraic method, he not only solved and expanded the questions proposed by Diophantus, but also introduced a connection between the algebraic solutions and what he called geometric determinations by obtaining loci from the solutions.
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Notes
Mahoney (1980) studied the impact, which was not free of tension, of this new way of algebraic thought: “Close examination of the works of leading mathematicians of the seventeenth century often reveals a certain tension between two modes of mathematical thought: an old, traditional, geometric mode and a new, in many ways revolutionary, algebraic mode,” and he gave it great importance in the process of change of mathematics during the seventeenth century: “In the light of the brilliant mathematical achievements of the later seventeenth century, in particular the infinitesimal calculus, there is a risk of overlooking the most important and basic achievement of mathematics at the time, to wit, the transition from the geometric mode of thought to the algebraic”
Càndito (2016) collected references to 25 works by Jacques Ozanam and reviewed the content of his main published works. She also offered a possible explanation of Ozanam’s mathematical motivations and interests.
In the preface, Ozanam writes: “[...] to defend pleasures which are engaging by their usefulness, & which are so common, so easy, & so appropriate to all those who have reason, that they cannot be taken away from men without depriving them of what is more pleasant to the life.” Our translation of “[...] défendre des plaisirs qui sont engageans par leur utilité, & qui sont si communs, si faciles, & si propres à tous ceux qui ont de la raison, qu’on ne peut pas les ôter aux hommes, sans les priver de ce qu’il y a de plus agréable dans la vie.”
Also translated into English in 1803 (Hutton 1803) by Charles Hutton.
Càndito (2016) explains how Ozanam, despite being born into a wealthy family, did not obtain any part of the family inheritance that, at that time, passed in its entirety to the eldest of the children. Ozanam was the second child and his father guided him through ecclesiastical studies that, after the death of his father, he left without finishing, in order to dedicate himself to the study of mathematics. Despite abandoning his ecclesiastical career, Ozanam’s mathematical training was greatly influenced by Jesuits such as C.F.M. Deschales and J. de Billy, as we will see later. For more details on Ozanam’s biography, see Schaaf (1970-1990) and Fontenelle (1719).
The Six Books of Diophantus of Alexandria’s arithmetic increased and reduced to the specious [new algebra].
Henri François D’Aguesseau was Chancelier of France from 1717 to 1722, high position appointed directly by the king whose task was the administration of justice in France.
Jean Cassinet was a French mathematician and historian of mathematics, professor at the University of Toulouse.
Rashed and Houzel (2013) give an interesting investigation and reflection on the different known versions in classical Greek and Arabic of the Arithmetic of Diophantus.
Meskens (2010) states that Fibonacci received his mathematical training in the Arab world where he traveled until 1200. He adds that it is not clear that he knew the Diophantus work since the problems of a Diophantine type that he collects do not corresponds to the treatment of Diophantus of Alexandria.
Meskens (2010) offers more details about Regiomontanus and the Diophantus.
See Meskens (2010).
For more information on Gosselin’s work, see Kouteynikoff (2012).
On the evolution and knowledge of the Arithmetic of Diophantus of Alexandria, and in particular, between the sixteenth and seventeenth centuries, detailed information can be found in the works of Tannery (1893), Heath (1910), Ver Eecke (1959) or more recently Freguglia (2004), Rashed (2013), Rashed and Houzel (2013), Christianidis (2007), Christianidis and Oaks (2013) and Meskens (2010).
Meskens (2010) comments on the influence of the text of Bachet in his time and later, as well as the characteristics of its content.
Meskens (2010) states that “[...] Bachet remained faithful to the classical style, but evidently went much further in content, so that we can safely say he was a research mathematician of great stature. His preconditions for working with numbers made him shy away from Viète’s algebra of kinds.”
The correspondence between Leibniz and Ozanam on mathematical questions was fluid as can be seen, for example, in Leibniz (1990). Leibniz’s good opinion of Ozanam’s work is shown in a note on Ozanam’s Algebra, published by Leibniz in “Le Journal des Savans” (Leibniz 1703): “The Algebra of M. Ozanam, which I just received, seems to me much better than most of the ones we have seen in a long time, which do nothing but copy Descartes and his commentators. I am glad that he recovers some of the precepts of Viète, inventor of la Specieuse, which do not deserve to be forgotten”; our translation of “L’Algebre de M. Ozanam, que je viens de recevoir, me paroist bien meilleure que la pluspart de celles qu’on a vûës depuis quelque temps, qui ne font que copier Descartes & ses Commentateurs. Je suis bien aise qu’il fasse revivre une partie des preceptes de Viète, inventeur de la Specieuse, qui meritoient de n’estre point oubliez.”
Translation of Hall and Hall (1977) from the original Latin text: “Parisiis est dominus Osannam juvenis in Algebra versatissimus, qui nobis aliquid in eo genere Idem Diophantum promotum dabit, reperta ratione solvendi problemata, quae neque ex Diophanto, neque ex cognita hactenus Algebra poterant solvi.”
Jacques De Billy, a French Jesuit and mathematician, considered an expert in the work of Diophantus, had Ozanam as a disciple and was related to Bachet. He also maintained a frequent correspondence with Fermat. Part of the comments and mathematical observations of De Billy to Fermat, were collected under the title of “Doctrinae analyticae inventum novum” in the edition of the Arithmetic of Diophantus published by Fermat’s son. Jean Bertet, Jesuit and mathematician, stated in a letter to Wallis, dated 1671 (Beeley and Scriba 2012, p. 534), that Ozanam was a disciple of De Billy, although the editors of Beeley and Scriba (2012) say that this statement is not verified. Also in “Mémoires pour l’histoire des sciences & des beaux-arts” (Ganeau 1721, p. 372), in 1721, it is stated that Ozanam was a disciple of De Billy. However, in “Mémoires pour servir à l’histoire des hommes illustres” Niceron (1739) it is stated that he was not a disciple of De Billy, but of Claude F. M. Deschales, another French Jesuit and mathematician. This hypothesis is consistent with the fact that Ozanam made a new edition in 1720 “revûë, corrigée & augmentée” [revised, corrected and augmented] (Deschales 1720) of Les Elements D’Euclide of Deschales which had been published in 1672 (Deschales 1672). Ozanam also quotes Deschales on p. 2 of the introduction to his Elements of Euclid that are part of volume I of his Cours de mathématique (Ozanam 1693).
In any case, the relationship between De Billy and Ozanam was fluid, as shown by the previous references or by the excerpts of letters between the two of them, that were collected by Tannery and Henry in the “Oeuvres de Fermat” (de Fermat 1912, pp. 138–140).
Translation of Hall and Hall (1977) of the original Latin text collected by Wallis (1699): “Jacobus Osanna de quo TIBI aliquando locutus sum, et cuius P. Billy in scriptis suis cum elogio meminit, monstravit mihi super Diophantum suum mox praelo committendum; ad symbola revocatum. Adjicit passim Quaestiones a Diophanto et Bacheto praetermissas; sed et librum septimum addet refertum quaestionibus Paralipomenis.” The seventh book with complementary questions referred to by Leibniz is not to be found in the manuscript we have studied (Ozanam 1674).
Cassinet, in the aforementioned paper (Cassinet 1986), erroneously states that the author of this letter was John Wallis and quotes his work Operum mathematicorum (Wallis 1699). This error may be due to the fact that Wallis included a section dedicated to gathering a collection of letters (pp. 617–708) and among them, on pages 617 and 618, is the aforementioned letter from Leibniz to Oldenburg in which Ozanam’s Diophantus is mentioned. However, Wallis picked up this letter correctly attributing its authorship to Leibniz.
Translation of Hall and Hall (1977) of the original Latin text collected by Wallis (1699): “Diophantum ipsius Osannae puto fore lectu dignum; dat enim operam, ut lemmata omnia ex numerorum natura petita, expungat, et ut semper ostendat ipsum inveniendi modum analyticum. Sed haec quidem vel ideo scriptu digna putavi, quia Diophantum symbolicum apud Vos quoque edi editumve esse intelligo.”
Traité des lignes du premier genre explained par une méthode nouvelle & facile (Ozanam 1687a). It is a treatise on conic sections, their properties, and how to construct them.
Our translation of Ozanam (1687a, p. 144). “Trouver quatre Nombres, tels que leur somme soit egale a Nombre donné & que la difference de deux quelconques soit un Nombre quarré.” This problem appears in the second volume of the manuscript (Ozanam 1674), p. 259 as the first problem added to Question IX of Book III, although Ozanam, in the manuscript, does not impose the condition that the sum of the four numbers be given.
Our translation of Ozanam (1687a, p. 144). “Je ne m’arresteray pas icy à vous enseigner la maniere de trouver les trois Nombres precedens indefinis,[...] et que vous la pourrez trouver dans nostre Diophante, lorsqu’il aura le bonheur de paroistre[...].”
Our translation of Ozanam (1687a, p. 149). “Vous voyez par ces solutions differentes, que ce Probleme est aisé à celuy qui sçait trouver quatre Nombres, tels que la difference de deux quelconques soit un Nombre quarré; ce que nous avons enseigné en plusieurs manieres dans nostre Diophante.”
Traité de la construction des equations pour la solution des problèmes indéterminés (Ozanam 1687b).
Our translation of the first page, unnumbered, of the introduction Au lecteur (Ozanam 1687b) “[...]comme vous verrez dans les Questions que nous ajoûtons au commencement de ce Traité, dont quelques-unes ont êté tirées de nôtre Diophante, comme dans le Traité precedent, pour vous mieux faire comprendre la maniere de resoudre par Géométrie les Problèmes d’Arithmétique,[...].”
Proper translation of Ozanam (1687b, p. 2). “Trouver deux Nombres, tels que les raisons de leur difference & de leur somme à la difference de leurs Quarrez soient données.”
On p. 12 of the Treatise, question III carries the reference to book II of Diophantus, question II, subquestion II that, in content but not in numbering, coincides with book II, question V, subquestion II on p. 198 of the manuscript. The same is true for two other questions on pp. 14 and 16 of the Treatise that coincide in content and not in numbering with questions on pp. 201 and 210 of the manuscript, respectively.
Traité des lieux geometriques, expliquez par une methode courte & facile (Ozanam 1687c).
Our translation of Ozanam (1687b, p. 19). “Nous avons donné dans nôtre Diophante plusieurs solutions de cette Question[...].”
Although we cannot be sure, it seems quite clear that it was an earlier version of Diophantus’ treatise and it gives the impression that the work was being refined and, perhaps, preparing the final version prior to publication; note, for example, that in the heading of each page, it only says “Book III” without indicating the question that is addressed on that page, while in the two previous books it was indicated.
Although it is not cited explicitly in the manuscript, it seems clear that Ozanam follows Descartes’ notation as he had already done in 1693 in his Cours de mathématique (Ozanam 1693) p. 41 and 46 of the preface of volume I or p. 5 of the preface to volume III which does quote Descartes. He also quotes Viète in volume I of the Cours de mathématique pp. 15 and 39; on this last page because of the law of homogeneous.
Our translation of Ozanam (1674, p. 5). “Nous avons pris les lettres x, y, z, w, pour les quantitez inconnues, & les autres lettres indifferemment pour les connues, & pour les indeterminées, excepté la lettre l, qui sera toujours prise pour l’unité, lorsqu’il s’agira de comparer ensemble par addition, ou par soutraction, deux grandeurs de divers genre, comme il arrive dans plusieurs questions de Diophante. Dans ce cas il est necessaire de multiplier la plus basse de ces deux quantitez par l’unité autant de fois qu’il en sera besoin pour la rendre aussy élevée que la plus haute, ou bien de diviser la plus haute par l’unité autant de fois qu’il sera necessaire pour la rendre homogene à la plus basse, ce qui se peut toujours faire sans changer la Question, parce que l’unité en multipliant ou en divisant n’aporte aucun changement.”
Our translation of Ozanam (1674, p. 5). “Cela se pratique pour conserver la loy des Homogenes, c’est à dire pour ne point s’eloigner des regles de la Geometrie, qui nous aprend qu’il n’y a aucune raison entre une ligne & un plan, ny entre un plan & un solide, & c. parce que ces grandeurs sont heterogenes, c’est à dire de different genre; car ainsy on peut resoudre tout probleme d’Arithmetique par Geometrie, comme vous verrez dans les deux premiers livres.”
For more information on the concept of equation, see Cajori (1993).
Our translation of Ozanam (1674, p. 5). “Nous nous sommes servy du mot Equation, plutôt que du mot Egalité, parce qu’une Equation c’est la comparaison que l’on fait entre deux grandeurs inégales pour les rendre égales, & qu’une Egalité est la comparaison de deux grandeurs veritablement égales. Ainsy lorsque par la reduction de l’Equation on a rendu égales les deux quantitez inégales, cette Equation se change en Egalité.”
Our translation of Ozanam (1674, p. 4). “[...]aux nombres donnez dans la question, pour la rendre possible, c’est à dire pour ne la pas resoudre en nombres irrationnels, quand cela est possible, n’y en nombres niez, parce que dans les questions de nombres on n’admet point de solutions negatives[...].”
The preface has, like much of the manuscript, exquisite calligraphy and goes between pages 3 and 5.
Our translation of Ozanam (1674, p. 3). “[...]mais j’ay presque toujours fait au commencement des positions conformes à la nature du Probleme, pour avoir une analyse plus aisée, & une solution plus generale.
J’ay mis presque par tout des lettres à la place des nombres, pour rendre la solution autant generale qu’il a été possible, & pour ne point faire de cas particulier: & si je me suis servy quelquefois des nombres, ça été pour avoir un calcul plus aisé, & une solution plus simple.”
Nouveaux elements d’Algebre, ou Principes Generaux, Pour resoudre toutes sortes de Problems de Mathematique (Ozanam 1702). This title shows, like Viète, the importance that Ozanam placed on algebra in solving “all problems.” Importance that he also makes explicit in the preface of this work.
Des Simples, des Doubles, & des Triples Egalitez, Pour le solution des Problêmes indetérminez en nombres rationels.
Our translation of Ozanam (1674, p. 4). “J’ay ajouté au commencement de chaque Question un canon general pour la resoudre, & je l’ay tirée de la solution la plus simple, entre plusieurs que je donne presque par tout, pour avoir un canon aussy plus simple, mais moins general. J’ay crû que j’en devois user de la sorte, parce qu’un canon plus general étant plus long perd sa beauté & son utilité[...]
J’ay mis ce canon plutôt au commencement qu’à la fin de la Question, pour donner l’envie au Lecteur d’en savoir l’origine, & l’obliger à étudier les solutions differentes, qui suivent le canon,[...].”
“Metode de Diophante.”
Our translation of Ozanam (1674, p. 3). “[...] Que si je n’ay pas expliqué en quelques endroits la metode de Diophante, c’est parce que je l’ay crûe facile à concevoir, ou trop longue à pratiquer par la specieuse; & dans les endroits les plus difficiles, j’ay fait voir l’origine des positions qu’il a faites au commencement, pour satisfaire tout d’un coup à une, ou à plusieurs conditions de la Question. On y verra que ses positions ont été faites plutôt par hazard, & par une connoissance qu’il s’étoit acquise par un long usage de la proprieté des nombres, que par une science certaine, & par une veritable specieuse, puisque les Theoremes sur lesquels il se fonde pour faire ses positions, se trouvent enoncez par la specieuse beaucoup plus generalement qu’il ne les a proposez.”
This problem is well known, since it is the question on which Fermat wrote his famous note in the margin of Bachet’s Diophantus that resulted in the known as Fermat’s last theorem.
“Arithm” can be translated as unknown or searched number.
(Heath 1910, p. 145) “I form the square from any number of \(\alpha \rho \iota \theta \mu o\) minus as many units as there are in the side of 16.”
Let us observe that Viète also used symbols for the known parameters, which allowed him to obtain general solutions.
Our translation of Viète (1591b, p. 13) “Latus primi quadrati esto A, secundi \(B-\frac{S\text { in }A}{R}\). Primi lateris quadratum est A quadratum. Secundi \(B\;quadratum-\frac{S\text { in }A\text { in }B\text { bis}}{R}+\frac{S\;quadratum\text { in }A\;quadratum}{R\;quadrato}\). Quae duo quadrata ideo aequalia sunt B quadrato.
Aequalitas igitur ordinetur. \(\frac{S\text { in } R \text { in }B \text { bis}}{S\text { quadrato}+R\text { quadrato}}\) aequabitur A lateri primi singularis quadrati. Et latus secundi sit \(\frac{S \text { quadrato in } B-R \text { quadrato in } B}{S \text { quadrato }+ \text {R quadrato}}\).”
Problem IX consists of “Given a number that is the sum of two squares, decompose it as the sum of two other square numbers.”
Note that, as Ozanam himself explained, he approached questions VIII and IX at the same time due to the similarity of their approach as well as Bachet had done.
Our translation of p. 383 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674).“Trouver deux nombres quarrez, dont la somme soit égale à un nombre quarré donné.
On propose de trouver deux nombres quarrez xx. yy. dont la somme \(xx+yy\) soit égale au quarré donné \(16\sim aa\).”
Own translation p. 383 from volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Si on multiplie chacun des deux côtez d’un triangle rectangle, par le côté du quarré donné, & qu’on divise chaque produit par l’hypotenuse; on aura les côtez des deux quarrez qu’on cherche.”
Our translation of p. 384 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Si on divise le double du produit de deux nombres indeterminez, & la difference de leurs quarrez, chacun par la somme des mêmes quarrez, & qu’on multiplie chaque quotient par le côté du quarré donné; on aura les côtez des deux quarrez qu’on cherche.”
We have already cited Ozanam’s work from 1687 Treatise of Loci (Ozanam 1687c). Ozanam developed loci in this treatise and already in the introduction he defines what he understands by loci: Our translation of p. 5 of Ozanam (1687c) “When after fulfilling the conditions of a Problem, there is more than one unknown letter in the last Equation, the problem is a Locus; & when there are only two unknown letters left, this Locus is a Line, that will be straight line, that will be straight when the constructive Equation, because in the constitutive Equation each unknown letter will be one dimension and they never multiply each other;[...] But, if any of the two unknown letters has two dimensions, or else, when its Rectangle [product of two letters] is in the constitutive equation, this local line is a curve[...],” (“Lors qu’aprés avoir accompli les conditions d’un Probleme, il demeure dans la derniere Equation plus d’une lettre inconnuë, le Probleme est un Lieu; & quand il ne reste que deux lettres inconnuës, ce Lieu est une Ligne, qui sera droite, lorsque dans l’Equation constitutive chaque lettre inconnuë n’aura qu’une dimension, & qu’elles ne se multiplieront point ensemble;[...] Mais, si l’une de ces deux lettres inconnuës a deux dimensions, ou bien, quand leur Rectangle se trouve dans l’Equation constitutive, cette ligne locale est courbe[...]); he continued identifying that curve with a conic according to the type of constitutive equation.
Our translation of p. 384 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Par le moyen de cette Question, on peut trouver en nombres autant de triangles rectangles differens que l’on voudra, dont les deux côtez & l’hypotenuse soient exprimez par des nombres rationnels, en se servant de ce triangle rectangle indefiny, \(\frac{abb \cdots acc\, ,\, 2abc}{bb+cc}, a\). qui vient d’être trouvé, & que l’on peut avoir en entiers & en moindres termes, en le multipliant par \(bb+cc\), & en le divisant par a, car alors on aura cet autre triangle rectangle, \(bb\cdots cc\, ,\, 2bc\, , \, bb+cc\), dont les deux quatintez indeterminées b, c, sont apelées nombres generateurs, parce qu’ils servent a former en nombres indefiniment un triangle rectangle, par ce canon general.”
Our translation of p. 383 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Le double du produit des deux nombres generateurs est l’un des deux côtez du triangle rectangle: la difference de leurs quarrez est l’autre côté: & la somme des mêmes quarrez est l’hypotenuse. Si l’on suppose \(b\sim 2\), \(c\sim 3\), le triangle rectangle qu’on cherche, sera cette grandeur 5, 12, 13.”
Our translation of p. 169 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Trouver deux nombres, tels que la raison de leur somme à la somme de leurs quarrez, soit donnée. On propose de trouver deux nombres x, y dont la somme \(x+y\), soit à la somme \(xx+yy\) de leurs quarrez, comme \(1\sim r\), à \(10\sim s\).”
Thus, if a and b are arbitrary numbers, and r/s is the given ratio, Ozanam tells us that it is necessary to construct the plane (dimension two) \((a+b)s\), and next to consider the solids (dimension three) \((a+b)sa, (a+b)sb\); finally, each of these numbers will be divided by the solid \((a^2+b^2)r\) in order to obtain the solution, namely \(\frac{(a+b)sa}{(a^2+b^2)r}\) and \(\frac{(a+b)sb}{(a^2+b^2)r}\).
Our translation of p. 169 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Canon: Si on multiplie le Plan sous la somme de deux nombres quelconques & le second terme de la raison donnée par chacun de ces mêmes nombres, & qu’on divise chaque solide par le solide sous le premier terme & la somme des quarrez des deux mêmes nombres; on aura les deux nombres qu’on cherche.
Selon la condition de la question, on aura cette analogie, \(lx+ly, xx+yy {:}{:} r,s\) de laquelle on tire cette equation \(lsx+lsy\sim rxx+ryy\).”
Our translation of p. 169 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “[...]& pour avoir une solution rationnelle, il faudra égaler au quarré cette Puissance \(\frac{llss}{4rr}+\frac{lsx}{r}-xx\), pour le côté duquel prenant \(\frac{ls}{2r}-\frac{ax}{b}\), ou mieux \(\frac{ax}{b}-\frac{ls}{2r}\) pour avoir, \(y\sim \frac{ax}{b}\), on trouvera \(x\sim \frac{abs+bbs}{aar+bbr}\), & au lieu de \(y\sim \frac{ax}{b}\), on aura \(y\sim \frac{abs+aas}{aar+bbr}\). Ainsy les deux nombres qu’on cherche, seront tels, \(\frac{abs+bbs\, ,\,abs+aas}{aar+bbr}\).”
Our translation of pp. 169–170 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Parce que nous avons supposé \(r\sim 1\), \(s\sim 10\) si l’on suppose \(a\sim 1\), \(b\sim 2\), les deux nombres qu’on cherche, seront de cette grandeur, 12, 6 & si l’on suppose \(a\sim 2\), \(b\sim 3\), les deux nombres qu’on cherche, seront de cette grandeur, \(11\frac{7}{13}\), \(7\frac{9}{13}\), mais si l’on suppose \(a\sim 3\), \(b\sim 1\), les deux nombres qu’on cherche, seront de cette grandeur, 4, 12.”
Our translation of p. 171 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Cette seconde solution n’est pas si generale que la premiere, puisqu’elle soufre une determination à l’égard des deux quantitez indetermineés a, b, qui est que la premiere a doit être moindre que la seconde b, comme il est aisé de voir dans le numerateur \(bbs-abs\), du second nombre trouvé où l’on a \(abs \ominus bbs\), & par consequent \(a \ominus b\) en divisant par bs[...].”
Our translation of p. 171 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Puisque donc cette Question est indeterminée, parce qu’on en peut donner une infinité de solutions differentes, elle doit être un Lieu, comme vous dans l’Equation constitutive \(lsx+lsy\sim rxx+ryy\), ou \( xx-\frac{lsx}{r}\sim \frac{lsy}{r}-yy\), qui est un Lieu au cercle; & pour en connoitre le rayon, supposez \(x\sim w+\frac{ls}{2r}\), ou \(x-\frac{ls}{2r}\sim w\), pour avoir cette autre Equation \(ww-\frac{llss}{4rr}\sim \frac{lsy}{r}-yy\), ou \(yy-\frac{lsy}{r}\sim \frac{llss}{4rr}-ww\). Supposez encore \(y\sim z+\frac{ls}{2r}\), ou \(y-\frac{ls}{2r}\sim z\), pour avoir cette derniere Equation \(zz-\frac{llss}{4rr}\sim \frac{llss}{4rr}-ww\), ou \(zz\sim \frac{llss}{2rr}-ww\), qui apartient à un cercle, dont le rayon est \(\sqrt{\dfrac{llss}{2rr}}\).”
Ozanam was referring to the area of the rectangle having sides FD and DG. This statement is nothing other than the height theorem applied to the triangle FIG. Let us also keep in mind that \(\sqrt{\frac{l^2s^2}{2r^2}}\) is the radius of the circumference and has been taken \(w=AD\).
Our translation of pp. 171–172 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Mais pour decrire ce cercle, faites le triangle rectangle ABC, dont chaque côté AB, BC, soit \(\frac{ls}{2r}\), ou quatrieme proportionnel aux trois lignes 2r, l, s, c’est à dire aux trois lignes 2AP, AO, AQ, & decrivez du centre A, par le point C, une circonference de cercle, qui sera le Lieu qu’on cherche: & pour y determiner en lignes les deux nombres qu’on cherche, tirez le diametre FG, parallele à la ligne BC, & prenez sur ce diametre FG, un point quelconque D, par où vous tirerez au diametre FG, la perpendiculaire EH, qui se trouvera terminée en E, par la circonference du cercle, & en H, par la ligne BC: & les lignes EH, CH, representeront les deux nombres qu’on cherche; de sorte que CH representera x, & EH representera y, à cause de \(x\sim \frac{ls}{2r}+w\), & de \(y\sim \frac{ls}{2r}+z\). Car BH, ou AD, represente w, & DE, ou DI, represente z, afinque son quarré zz soit égal au Rectangle FDG, qui vaut autant que \(\frac{llss}{2rr}-ww\), à cause de \(FD\sim \sqrt{\dfrac{llss}{2rr}}-w\) & de \(DG\sim \sqrt{\dfrac{llss}{2rr}}+w\), comme il est aisé à demontrer.”
Our translation of p. 172 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Pour demontrer que les deux nombres representez par les lignes EH, CH, satisfont à la question, c’est à dire que leur somme \(EH+CH\), multipliée par l’unité AO, savoir \(AOEH+AOCH\), est à la somme \(EHq+CHq\) de leurs quarrez, comme AP, est à AQ, prolongez les lignes EH, CH, jusqu’à la circonference du cercle en I, & en L, & tirez par le point C, à la ligne EH, la parallele CN, qui sera terminée par la circonference du cercle en N, par où vous tirerez la droite MN, parallele au diametre FG.”
Ozanam said that the equality of the proportion is in the nature of the circle since the two chords LC and EI intersect at the point H. The proportion is given by the well-known intersecting chords theorem.
Our translation of pp. 172 and 175 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “[...]si à la place des deux premiers termes LH, HI, on met les deux EH, CH, qui sont en mème raison, par la nature du cercle, on aura cette autre analogie, \(EH, CH{:}{:}LH, EH-CL\), & par consequent cette égalité, \(EHq-CL\,EH\sim CH\,LH\) ou \(EHq-CL\,EH\sim CL\,CH-CHq\), à cause de \(LH\sim CL-CH\), & par l’antitheze on aura celle-cy, \(CL\,EH +CL\,CH\sim EHq+CHq\), ou \(2AB\,EH+2AB\, CH\sim EHq+CHq\), à cause de \(CL\sim 2AB\), & si on donne à chaque Plan la hauteur commune AP, on aura \(2AB\,AP\,EH+2AB\,AP\,CH\sim AP\,EHq+AP\,CHq\), & si à la place du Plan \(2AB\, AP\), on met le Plan \(AO\, AQ\), qui luy a été demontre égal, on aura cette derniere equation \(AO\,AQ\,EH+AO\,AQ\,CH\sim AP\,EHq+AP\,CHq\), & par consequent cette analogie, \(AO\,EH+AO\,CH,\, EHq+CHq{:}{:}AP,\,AQ\). Ce qu’il faloit demontrer.”
Our translation of p. 175 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “[...]comme dans beaucoup d’autres Questions du livre precedent, emprunté l’unité l, pour observer la loy des Homogenes; mais on se peut passer d’emprunter l’unité l, & resoudre la Question plus élegantement, sans qu’il soit besoin d’égaler au quarré aucune Puissance, pour avoir une solution rationelle: savoir en faisant pour les deux nombres qu’on cherche, une position qui soit plus conforme à la nature de la Question. Car quand on a mis les deux lettres x, y, pour les deux nombres qu’on demande, comme ces deux lettres x, y, peuvent representer aussy-bien des lignes que des nombres, & que cette Question ne se peut point apliquer aux lignes sans emprunter l’unité, la position sera plus naturelle, & toutafait conforme à la nature du Probleme, en mettant deux fractions, comme par exemple \(\frac{a,b}{z}\), pour les deux nombres qu’on cherche, car ainsy ils ne peuvent pas representer des lignes, & alors on aura selon la condition de la Question, cette analogie, \(az+bz, aa+bb{:}{:}r,s\), & par consequent cette Equation constitutive, \(asz+bsz\sim aar+bbr\), dans laquelle on trouvera \(z\sim \frac{aar+bbr}{as+bs}\), & les deux nombres qu’on cherche, se trouveront les mêmes qu’auparavant. On voit aisément que par cette maniere on ajoute une condition à la Question, qui est qu’on leur donne une raison à volonté, laquelle est icy exprimée para la raison des deux lettres a, b, ausquelles on peut attribuer telle valeur que l’on voudra.”
Our translation of p.32 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Trouver deux nombres, dont la somme soit à leur produit en raison donnée.”
Our translation of p.32 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Parcequ’il s’agit icy de comparer un nombre simple avec un nombre plan, ce qui est contre la loy des Homogenes, nous concevrons ce nombre simple comme plan, en le multipliant par l’unité l, qui ne le changera point, pour observer la loy des Homogenes, ce que nous ferons toujours, quand il faudra comparer ensemble deux grandeurs heterogenes, pour tirer de la solution indefinie de la Question une construction geometrique[...].”
Our translation of p.33 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “[...]ce premier nombre x doit être plus grand que \(\frac{lb}{a}\), ou \(\frac{b}{a}\). Car dans le denominateur \(ax-lb\) du second nombre trouvé \(\frac{lbx}{ax-lb}\), on a \(ax \oplus lb\): c’est pourquoy en divisant par a, on aura \(x\oplus \frac{lb}{a}\)[...].”
Our translation of p. 33 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Si au lieu d’atribuer l’unité à la lettre l, on luy attribue tel autre nombre que l’on voudra, la Question sera resolue plus generalement[...] & comme il reste icy une lettre indeterminée x, cela fait connoitre que cette Question est un Lieu, geometrique, savoir un Lieu à l’Hyperbole entre ses asymptotes, comme l’on connoitra par l’Equation precedente [equation (7)][...].”
Our translation of p. 35 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Mais pour trouver en lignes les deux nombres x, y, & premierement le nombre y, il faut ajouter à la ligne \(MN\sim w\), la ligne \(AD\sim \frac{lb}{a}\), à cause de \(y-\frac{lb}{a}\sim w\), ou de \(y\sim \frac{lb}{a}+w\). Pour cette fin, on prolongera l’asymptote AB, en H, en faisant \(AH\sim \frac{lb}{a}\), & par le point on tirera à l’autre asymptote AC, la parallele indefinie HI, qui rencontrera la ligne MN, prolongée au point L, & donnera \(ML\sim y\).
Pour trouver l’autre nombre x, on doit ajouter à la ligne AN, ou \(HL\sim z\), la ligne \(AD\sim \frac{lb}{a}\), à cause de \(x\sim z+\frac{lb}{a}\), ce qui se fera en prolongeant la ligne HL, en K, & en faisant \(HK\sim \frac{lb}{a}\), pour avoir \(KL\sim x\). Ainsy les deux nombres qu’on cherche, seront representez par les deux lignes KL, LM, que l’on peut trouver en une infinité de manieres differentes, en prenant le point L, indefiniment depuis H, vers I[...].”
Our translation of p. 36 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Pour n’être pas obligé d’emprunter l’unité, & pour avoir une solution toutafait indefinie, c’est à dire sans aucune determination, mettez \(\frac{x,y}{z}\), pour les deux nombres qu’on cherche, & selon la condition de la Question, on aura cette analogie, \(\frac{x+y}{z},\frac{xy}{zz}{:}{:}a,b\).”
Our translation of p.36 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “[...] la Question ainsy resolue est un Lieu à la surface plane, savoir une partie d’une Hyperbole donnée, dont l’axe est égal au premier nombre donné a, & son parametre au second nombre donné b[...].”
Our translation of pp. 36 and 37 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Ayant decrit l’Hyperbole DAE, dont l’axe AB, soit égal au premier nombre donné a, & le Parametre BC, au second nombre donné b, prenez sur l’axe AB, prolongé vers A, la ligne \(AF\sim \frac{aa}{4b-a}\), & la ligne \(AG\sim \sqrt{\frac{aab}{4b-4a}}-\frac{1}{2}a\), & tirez par les points F, G, à l’axe AB, les ordonnées HFI, DGE, qui termineront la surface locale DEIH, dans laquelle on determinera en une infinité de manieres differentes, les trois nombres indeterminez x, y, z, en cette sorte.
Ayant tiré par le point S, pris à discretion entre les deux F, G la droite LSM, parallele aux deux DE, HI, & ayant pris sur l’axe AB prolongé vers B, la ligne SK, égal à l’ordonnée LM, tirez par le point K, à l’axe AB, l’ordonnée PKQ, qui sera terminée aux poins P, Q, par l’Hyperbole opposée TBV, enfin tirez par le point Q, à l’axe AB, la parallele QOR, qui rencontrera l’Hyperbole DAE, au point O, & l’ordonnée LM, au dedans de l’Hyperbole au point R, & alors les trois nombres x, y, z, seront representez par les trois lignes RL, RM, RO.”
Our translation of p. 409 of volume II of the manuscript whose original text is shown in Fig. 17.
Our translation of p. 410 of volume II of the manuscript (Ozanam 1674) “A l’ocassion de cette Question, nous ajouterons icy les suivantes, dont les six premieres sont de Bachet, qu’il n’a reslues qu’en partie, excepté les trois premieres, parce que dans les trois autres, il n’a point fait la perpendiculaire rationelle.”
Our translation of p. 113 of volume I of the manuscript (Ozanam 1674) “Trouver deux nombres, dont la difference & le produit, soient égaux à des nombres donnez.”
Càndito (2016) states that it is a mistake.
Càndito offers information on this in Càndito (2016).
Our translation (Paris. Fontenelle 1719, p.90). “Ses principaux Ouvrages sont[...], un Diophante manuscrit qui est entre les mains de M. le Chancelier[...].”
Our translation(Montucla 1758) p. 321 “M. Ozanam se jettoit vers le même temps dans cette carriere; et au jugement du P. De Billi, il y prenoit un effor extraordinaire. Il avoit écrit un Traité de l’analyse de Diophante, qui n’existe qu’en manuscrit, et que possédoit M. Daguesseau en 1717, suivant ce que nous apprend l’Historien de l’Académie des Sciences dans l’éloge de cet Auteur. Cet ouvrage eût contribué davantage à sa réputation, non auprès du vulgaire des Mathématiciens, mais auprès des habiles gens, que la plûpart de ceux qu’on a de lui.”
Our translation of the cover of Ozanam (1758) “Nouvelle Edition, totalement refondue & considérablement augmentée.”
Fontenelle explained in his Eloge (Fontenelle 1719) how the relationship between Ozanam and D’Aguesseau took place: Ozanam taught mathematics in Lyon to two foreigners who, at some point, told him that they could not return to Paris because they had not received the letters with the necessary credit. Ozanam selflessly lent them money without even demanding a receipt. These two persons must have been related to the father of the Chancelier of Paris, the noble D’Aguesseau, who, seeing Ozanam’s generosity, ordered him to be brought to Paris, promising to help him make his mathematical skills known.
Our translation (Anonymous 1785) “2530 Les six livres de l’Arithmétique de Diophante d’Alexandrie, augmentés et réduits à la Spécieuse par Ozanam.
- Traité des simples, des doubles et des triples égalités.
- Traité des lieux géometriques pour la solution del Problêmes Plans.
- Traité de minimis et maximis, par le même; deux vol. in-fol. Mss. qui paroissent copiés au net de la main de l’Auteur. Cet Ouvrage nous semble important, et il n’a point vu le jour; mais nous ne saurions déguiser que si les trois Traités d’Ozanam, indiqués ci-dessu, ne sont pas destinés à remplir une lacune qui se trouve entre les pages 45 à 149 du second volume, ce Manuscrit seroit imparfait: les feuilles en ont été coupés et la trosiéme question du troisieme Livre de Diophante, ou ce qui sert à les expliquer. Il n’est guere probable qu’un autre qu’Ozanam lui-même ait arraché ces feuilles, et il n’a sans doute été détourné de completer ce Manuscrit que par quelque nouveau travail, ou par un motif qui nous est inconnu.”
Our translation of Ver Eecke (1959, p. LXXXV) “Le manuscrit d’Ozanam ne paraît pas être tombé entre des mains pieuses, car les recherches entamées à plusieurs reprises pour la retrouver dans quelque collection privée ou publique n’ont jamais abouti.”
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Acknowledgements
We sincerely appreciate the collaboration of the Faculty of Mathematics of the University of Murcia, whose financing allowed us to pay for the digitization of the manuscript; we are also grateful for the collaboration of the Library of the Academia delle Scienze in Turin, which has facilitated us the access to the manuscript and allowed us the publication of the manuscript’s images. We also express our gratitude to the Research Group on Dynamic Systems of the University of Murcia for hosting our line of research. This research is included in the project HAR2016-75871-R of the Spanish Ministerio de Economía y Competitividad.
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Gómez-García, F., Herrero-Piñeyro, P.J., Linero-Bas, A. et al. The six books of Diophantus’ Arithmetic increased and reduced to specious: the lost manuscript of Jacques Ozanam (1640–1718). Arch. Hist. Exact Sci. 75, 557–611 (2021). https://doi.org/10.1007/s00407-021-00274-3
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