Résumé
Dans la Résolution des quatre principaux problèmes d’architecture (1673) puis le Cours (1683), Nicolas-François Blondel aborde en architecte-mathématicien l’un des plus célèbres problèmes d’architecture de tous les temps, celui de la diminution des colonnes (entasis). L’intérêt du texte tient à la variété des sujets qui se nouent autour de cette question. (1) Le texte est une réponse au défi lancé par Curabelle en 1664 sous le nom d’Étrenne à tous les architectes: Blondel montre que, dans l’état de confusion dans lequel le problème est posé, il admet une infinité de solutions; (2) Blondel reformule le problème en étudiant le tracé continu de la courbe; (3) Blondel mathématise le problème selon le style des Anciens. (4) Il réfute l’unicité de la courbe en énumérant un grand nombre de solutions (conchoïde, spirale, parabole, ellipse, cercle, hyperbole). Cette exubérance répond à une intention qui ne coïncide ni avec l’état d’avancement des mathématiques de la fin du xviie siècle, ni avec le goût de la géométrie des Anciens, ni avec un quelconque projet pédagogique. Ce trait s’explique avant tout par le projet de fonder l’architecture sur des bases scientifiques. Nous analysons les raisons de son échec.
Abstract
In Résolution des quatre principaux problèmes d’architecture (1673) then in Cours d’architecture (1683), the architect–mathematician Nicolas-François Blondel addresses one of the most famous architectural problems of all times, that of the reduction in columns (entasis). The interest of the text lies in the variety of subjects that are linked to this issue. (1) The text is a response to the challenge launched by Curabelle in 1664 under the name Étrenne à tous les architectes; (2) Blondel mathematicizes the problem in the “style of the Ancients”; (3) The problem is reformulated and solved through the continuous drawing of the curve; (4) Blondel refutes the uniqueness of the curve by enumerating a variety of solutions (conchoid, spiral, parabola, ellipse, circle, hyperbola). This exuberance responds to an intention that does not coincide with the state of the art of mathematics at the end of the seventeenth century, nor with the taste for geometry of the Ancients, nor with any pedagogical project. This feature is explained by Blondel’s plan to found architecture on scientific bases. The reasons for his failure are analysed.
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Notes
«De adiectione, quae adicitur in mediis columnis, quae apud Graecos ἔντασις appellatur, in extremo libro erit forma <et> ratio eius, quemadmodum mollis et conveniens efficiatur, subscripta». Soit: «Pour la correction additive qui s’applique à la partie médiane des colonnes, et que les Grecs appellent ἔντασις, on en trouvera une figure à la fin de ce livre, avec une légende souscrite décrivant la méthode pour en réaliser un tracé harmonieux et correct» (Vitruve 1990, 20–21, notes 124–126). Dans sa traduction des Dix livres de l’architecture de Vitruve, Claude Perrault, rival de Blondel, traduit ainsi le passage: «Pour ce qui est de l’accroissement qu’on ajouste au milieu des colonnes qui est appellé par les Grecs Entasis j’en mets une figure à la fin de ce Livre, afin de donner à entendre la methode qu’il y a de le rendre comme il faut doux & imperceptible» (Vitruve 1673, 81–84). Pierre Gros s’écarte de Perrault sur trois points principaux: il traduit adiectio—terme latin qui ne rend pas l’idée de tension communiquée par le grec ἔντασις—par «correction additive», mollis par «harmonieux» parce que le terme dépend de la venustas et conveniens, qui relève de la commodulatio, par «correct».
«Fassi in più modi il sminuire delle Colonne, de quali ne pongo qui dui, accettati per i migliori, il primo e più noto si è, che terminata l’altezza, e la grossezza della Colonna, e quanto si vuole che sminuischi dalla 3. parte in sù si forma un semicircolo à basso, dove comincia il sminuire, et quella parte, che ne vien compresa dalla linea perpendicolare del’ sommo Scapo, questa dividendola in quante parti uguali si vuole, et in altretanto partendo li dui 3. della Colonna, et poi accordando le linee perpendicolari con le tranversali saranno trovati li suoi termini, come si vede in figura. Di questa forma di Colonne si può usare nel Toscano, et nel Dorico». Soit: «La diminution des colonnes se fait de plusieurs façons, dont je présente ici les deux qui sont tenues pour les meilleures. La première et la plus connue est que, une fois fixées la hauteur [AB], l’épaisseur de la colonne [EC] et la quantité dont on veut qu’elle soit réduite à partir du tiers [inférieur] de la colonne vers le haut [EG], on trace un demi-cercle en bas [EDC], là où commence la réduction [i.e. sur la ligne du tiers inférieur de la colonne CE; du point de la diminution A! Le Muet], puis on divise l’arc [EG] compris par la verticale [AG] abaissée de l’extrémité supérieure du fut en autant de parties égales que l’on veut [comme en six Le Muet]. Soient les deux-tiers [supérieurs] de la colonne divisés [en autant de parties égales]. En faisant se correspondre [accordando; là où se coupperont Le Muet] les verticales [perpendicolari] et les horizontales [transversali], tous ses points [E H I K L M A] seront trouvés, comme on le voit sur la figure. Cette forme de colonne [cette façon Le Muet] peut être utilisée dans [l’ordre] dorique et le toscan» (Vignola 1562, 30; le lettrage des figures est repris à Le Muet, pour faciliter la comparaison).
«L’altro modo da me stesso speculando l’ho trovato, e benché sia noto molto meno è però molto facile a comprenderlo da lineamenti, dirò solamente, che terminate tutte le parti com’ è detto si deve tirare una linea indefinita alla 3. parte da basso la quale comincia da C et passa per D poi riportando la misura CD in punto A, et intersecando sul Cateto della Colonna, che sarà in punto B si stenderà AB in punto E di dove si puo tirare quel numero di linee, che pareranno quali si partino da Cateto della Colonna, et vadino alla circonferenza, et sù queste riportando la misura CD dal Cateto verso la circonferenza cosi di sopra la 3. parte come di sotto veniranno trovati li suoi termini. Di quest’ altra sorte di Colonne si può usare nel Ionico, Corinthio, e Composito». Soit: «L’autre façon, je l’ai trouvée moi-même en spéculant, et, bien qu’elle soit beaucoup moins connue, elle est très facile à comprendre à partir de son tracé [lineamenti; par les lignes Le Muet]. Je dirai donc que, une fois fixées les quantités [comme dans la première façon], il faut tirer une ligne indéfinie [à l’infiny! Le Muet] au tiers inférieur de la colonne, qui part de C et passe par D. En reportant alors la mesure CD au point A, afin qu’elle coupe le cathète de la colonne en B. Du point E, qui est le prolongement de AB, on pourra tirer autant de lignes que l’on veut, qui sembleront aller du cathète de la colonne à la circonférence. En reportant la mesure CD du cathète à la circonférence sur celles-ci, tous ses points [termini; enfleure! Le Muet] seront trouvés, tant au-dessus qu’au-dessous du tiers. Cet autre type de colonne [cette maniere Le Muet] peut être utilisé pour [l’ordre] ionique, corinthien, et composite» (Vignola 1562, 30).
«Ma come debba farsi la gonfiezza nel mezo; non habiamo da lui [Vitruvio] altro che una semplice promessa: e perciò diversi hanno di ciò diversamente detto. Io sono solito far la sacoma di detta gonfiezza in questo modo. Partisco il fusto della colonna in tre parti eguali, e lascio la terza parte da basso diritta à piombo, à canto l’estremità della quale pongo in taglio una riga sottile alquanto, lunga come la colonna, ò poco più, e muovo quella parte, che avanza dal terzo in suso, e la storco fin che’l capo suo giunga al punto della diminutione di sopra della colonna sotto il collarino; e secondo quella curvatura segno: e cosi mi viene la colonna alquanto gonfia nel mezo, e si rastrema molto garbatamente» (Palladio 1570, 15). Nous pouvons suivre la traduction de Fréart, qui est assez fidèle: «Mais pour ce qui concerne la methode de faire avec art le renflement du milieu, il ne nous en a laissé qu’une simple promesse, c’est pourquoy chacun a eu plus de liberté d’en parler diversement à sa fantaisie. Pour moy i’ay accoustumé d’en faire le profil de cette sorte: ie divise le fuste de la colonne [AC] en trois parties égales, dont ie tire la plus basse toute droite à plomb [AB], sur l’extremité de laquelle ie couche une regle pliante, longue autant|ou un peu plus que n’est la colonne; puis i’approche & fais courber le bout de cette regle iusques à ce qu’il arrive au poinct de la diminution du haut sous le collier [C], & ie la profile suivant cette courbeure, laquelle me donne son contour un peu renflé par le milieu, qui se va puis aprés diminuant avec beaucoup de grace» (Palladio 1670, 13–14).
Le principal passage polémique est le suivant: «De toutes ces choses, on peut juger si je n’ai pas eu raison de souhaiter au premier Discours de ce Problême, que l’Auteur du Paradoxe proposé à résoudre à tous les Architectes, se fut un peu plus clairement fait entendre de la nature de la ligne, que l’on peut, comme il dit, décrire Architectoniquement parfaitement pour le renflement & diminution des Colonnes; puis qu’après que quelqu’un en aura décrit Architectoniquement parfaitement une infinité par les manieres cy-dessus dites, il dépendra toujours de la volonté de l’Auteur du Paradoxe de s’en réserver une infinité d’autres, & dire qu’on n’aura pas encore trouvé la sienne» (1673, 391).
C’est aussi l’intention de Bosse: «XXXIII. Maniere de tracer ou decrire tout dun Trait la ligne courbe qui forme de costé et dautre le Fust des Colonnes» (Bosse 1664, XXXIII).
Un argument de Descartes a aidé à se libérer de cette norme: «& ie ne sçaurois comprendre pourquoy ils les ont nommées mechaniques, plutost que Geometriques. Car de dire que ç’ait esté, a cause qu’il est besoin de se seruir de quelque machine pour les descrire, il faudroit reietter par mesme raison les cercles & les lignes droites; vû qu’on ne les descrit sur le papier qu’auec vn compas, & vne reigle, qu’on peut aussy nommer des machines» (Descartes 1637, 315).
Dans l’introduction des corrections optiques, Vitruve recommande par exemple «de s’en tenir exactement au système modulaire du genre auquel appartient l’ouvrage» (Vitruve 1990, 19). Cette recommandation cache mal que l’entasis est en réalité une altération du système modulaire.
La proposition est utilisée par Archimède (Des conoïdes et des sphéroïdes, 26; De l’équilibre des plans, II, 2).
Cette courbe, «espèce de spirale ou ovale» est en réalité, si θ désigne un angle quelconque pris sur le cercle de centre A et de rayon AB, une courbe transcendante définie par le lieu des points d’ordonnée \( y = \arccos (x) /\theta \).
Le procédé décrit consiste à laisser pendre une corde entre deux points K et M pris sur l’axe horizontal de la colonne de sorte que la corde passe par les congés de la colonne F et L, pendant que son ventre passe par le point D du plus grand diamètre. Blondel confond donc, après Galilée, la parabole avec la chaînette.
Cette construction géométrique a été utilisée, entre autres, par Chuquet (1484), Roriczer (1489), Dürer (1525), Tartaglia (1560), Peletier (1573), Pico (1597), Forestani (1603), Clavius (1604), Marolois (1616), Schwenter (1616), Scala (1624), Coignet (1626) et Ardüser (1627). Je renonce à référencer ces titres.
Le remplacement de points par des tangentes montre que, si elle existe, il passe une conique par cinq points (ou cinq tangentes); deux coniques par quatre points et une tangente (un point et quatre tangentes); quatre coniques par trois points et deux tangentes (deux points et trois tangentes).
L’identité du nombre de points qui déterminent une courbe et du nombre de coefficients de son équation réduite est aisée à comprendre dans le cas la droite. Du point de vue algébrique, une droite \( y = Ax + B \) est déterminée quand ses coefficients A et B sont connus. On sait que la droite passe par les deux points \( P(x_{P} ,y_{P} ) \) et \( Q(x_{Q} ,y_{Q} ) \). On trouvera donc ses coefficients en résolvant le système linéaire:
$$ \begin{array}{*{20}l} {y_{P} = Ax_{P} + B} \hfill \\ {y_{Q} = Ax_{Q} + B} \hfill \\ \end{array} $$On tire de (1) \( B = y_{P} - Ax_{P} \), qu’on réintroduit dans (2), ce qui fournit \( A = (y_{Q} - y_{P}) /(x_{Q} - x_{P}) \).
A étant connu (2), on en déduit B (1).
On voit que ce système admet un seul 2-uplet solution (A, B). Dans le cas d’une conique, il s’agira pareillement de résoudre un système linéaire de cinq équations à cinq inconnues.
Des points du plan sont dits «en position générique» si, parmi eux, aucun triplet de points n’est aligné. Cette condition n’est généralement pas explicitée dans les travaux anciens.
Blondel (1673, 383) oublie de mentionner que, le cercle étant une conique dégénérée, il n’est pas déterminé par cinq mais par trois points seulement.
«Qua ratione hoc fiat suprà in Astronomia Terrestri ex Pappo abundè satis ostendimus, nempe datis quinque punctis in Ellipsi cætera omnia facile inveniuntur» (Ward 1656, 49).
«Datis tribus punctis non in directum jacentibus, invenire elipsin per data puncta transeuntem. this probleme is not determined […]» (Gregory 1673 [1831] 278).
«Datis quatuor aut quinque aut pluribus punctis per quae linea quaedam curva transit, dicere quaenam ista sit linea, et alia ipsius puncta designare» (Huygens 1653 [1888] 218).
«Tactiones etiam conicæ: ubi ex quinque punctis & quinque rectis datis, quinque quibuslibet, &c.» (Pascal 1654 [1779] 409).
«Circa 5 data puncta ellipsin describere… Circa 5. data puncta h k l m n quæ sunt in Hyperbole Hyperbolea describere. Mutatis mutandis constructio et demonstratio sit ut in ellipsis» (Harriot av. 1621, 460r).
«Où l’on enseigne à décrire telle section conique qu’on voudra dont cinq points sont donnés» (Reyneau 1708, 447).
«Lineam Secundi Ordinis ducere per data quævis quinque puncta» (MacLaurin 1720, 9).
«L’équation générale pour les lignes du second ordre admet cinq déterminations; par conséquent […] si on propose seulement quatre points ou un moindre nombre, comme l’équation n’est pas alors déterminée, il y aura une infinité de lignes toutes du second ordre qu’on pourra faire passer par ces points» (Euler 1748, 36).
Pappus (Collectio VIII, 12) introduit la construction par un problème d’architecture: soit, dit-il, un fragment de colonne si abîmé qu’on ne puisse pas en déterminer le diamètre. Cinq points pris sur la circonférence d’une section cylindrique quelconque permettront de déduire la grandeur recherchée (Pappus 1861, 1073).
Ainsi, dans la construction de la parabole, Blondel ne mentionne pas que la proportion DH2: DG2 = HI2: GF2 vient de l’élévation au carré d’un rapport entre triangles semblables, ce qui pourrait en rendre la compréhension difficile à un débutant (Blondel 1673, 383).
«Monsieur Blondel un des Professeurs Royaux en Mathematique est le premier qui a enseigné le moyen de tracer cette ligne tout d’un trait, & ce moyen est à mon avis si parfait que l’on peut dire qu’il repare assez heureusement la perte que nous avons faite de la figure que Vitruve avoit promise» (Vitruve 1673, 80). – «Monsieur Blondel dans son traité des quatre principaux problemes d’Architecture, a enseigné comment cette ligne peut estre décrite d’un seul trait, avec l’instrument que Nicomede a trouvé, pour tracer la ligne appellée la première Conchoïde des Anciens» (Perrault 1683, 24). – «On a obligation à Monsieur Blondel de nous avoir fait remarquer que l’instrument dont Nicomede s’est servi pour tracer cette ligne estoit propre à décrire cette Diminution» (D’Aviler 1691, 104). – «Blondel enseigne plusieurs manieres de decrire geometriquement, & tout d’un trait, le contour de l’enflure, ou diminution des colonnes» (Furetière 1708, art. colonne). – «Vignole sans être Géometre, a trouvé une courbe, que Blondel a reconnu pour être la Conchoïde de Nicomede, sur quoi il a donné une autre maniere pour y appliquer les courbes des Sections Coniques» (Frézier 1739, 25–6). – «On doit à M. Blondel, Professeur de Mathématique, la maniere de tracer par la Conchoïde la ligne de diminution d’un seul trait» (Savérien 1753, 204). – «M. Blondel a imaginé de faire servir à ce dessin l’instrument de Nicomede, en sorte que le profil de la colonne ait la figure d’une concoide» (Lagrange 1770, 124). – «Il faut observer que cette diminution n’est pas décrite par une ligne droite depuis le tiers inférieur de la colonne jusqu’au haut, mais par une ligne courbe nommée conchoïde, laquelle se décrit avec un instrument dont nous devons l’invention à Nicomède, & que M. Blondel a remis en usage» (Roubo 1770, 288). – «François Blondel a restitué à l’Architecture & aux Mathématiques, non-seulement la connoissance de la conchoïde; mais encore l’instrument que Nicoméde avoit inventé pour décrire cette courbe d’un seul trait» (Blondel 1771, 274-5). – «François Blondel, dans son traité des quatre principaux problêmes d’architecture, a enseigné comment la ligne de diminution & de renflement, peut être tracée d’un seul trait avec l’instrument que Nicomède a trouvé pour tracer la ligne appellée la première conchoïde des anciens» (Quatremère de Quincy 1788, 217).
La valeur de la contractura est fonction de la hauteur de la colonne: elle variait classiquement de un sixième pour les colonnes de moins de 15 pieds, à un huitième pour les colonnes de plus de 40 pieds de hauteur (sur ce point voir les commentaires de Pierre Gros dans Vitruve (1990, 121–122).
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Appendix
Appendix
Cet appendice donne les équations algébriques des six courbes de Blondel dans le repère orthonormé Oxy ayant pour unité le mod. (diamètre de la colonne) et pour origine O le centre de la colonne à 3 mod. de hauteur (à son plus grand diamètre).
Considérant ensuite le cas d’une colonne ionique de diamètre 1 mod., de hauteur 9 mod., avec une contracture de 1/8 mod.,Footnote 31 nous ajustons les courbes pour les faire toutes passer par l’extrémité du plus grand diamètre (± 0, + 0.5), où elles sont tangentes, et le congé supérieur de la colonne (+ 0.375, + 6) (Fig. 6).
Comparaison des courbes à l’ordonnée y = 4.75
Les équations sont les suivantes:
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conchoïde: \( (x - a)^{2} (x^{2} + cy^{2} ) = bx^{2} ,\;a = 0.1835,\;b = 0.1,\;c = 0.0067 \)
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spirale: \( y = \frac{{\arccos \left( {x + \frac{1}{2}} \right)}}{t};\;t = 0.0845 \)
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parabole: \( \frac{1}{2} - x = \left( {\frac{y}{b}} \right)^{2} ,\;b = 17 \)
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chaînette: \( x - \frac{3}{2} = - \cosh \left( {\frac{y}{a}} \right),\;a = 12 \)
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ellipse: \( \left( {\frac{x}{a}} \right)^{2} + \left( {\frac{y}{b}} \right)^{2} = 1,\;a = 0.5,\;b = 9.05 \)
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cercle: \( (x + a)^{2} + y^{2} = b, \;a = 143.5,\;b = 20736 \)
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hyperbole: \( \frac{{(x - 2)^{2} }}{{a^{2} }} - \frac{{y^{2} }}{{b^{2} }} = 1,\; a = 1.5,\;b = 14.4 \)
Les courbes présentent la plus grande déviation à l’ordonnée y = 4.75. On peut calculer les abscisses correspondantes des points de ces courbes, puis traduire les écarts en fraction de module (diamètre de la colonne) (Table 1).
La différence minimale apparaît entre parabole et chaînette, et entre spirale et hyperbole (0.0001 mod. soit 1/10000 du diamètre de la colonne). La différence maximale apparaît entre ellipse et conchoïde (0.0122 mod. soit 1/82 du diamètre de la colonne). La plupart des courbes présentent entre elles des différences inférieures au 1/100. Ces courbes étant indiscernables à l’oeil, la solution géométrique non pas unique, mais la plus directe, du problème de l’entasis est le cercle, qui est la seule courbe entièrement déterminée par trois points (ou deux points et une tangente) et la courbe la plus facile à tracer.
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Raynaud, D. Mathématiques et architecture: le tracé de l’entasis par Nicolas-François Blondel. Arch. Hist. Exact Sci. 74, 445–468 (2020). https://doi.org/10.1007/s00407-020-00248-x
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