Lp−Fourier inversion formula on certain locally compact groups

Wassim Nasserddine

doi:10.1016/j.crma.2019.06.011

Group theory/Harmonic analysis

L^p−Fourier inversion formula on certain locally compact groups
[L^p−Formule d'inversion de Fourier sur certains groupes localement compacts]

Présenté par : the Editorial Board

Wassim Nasserddine ¹

¹ Université libanaise, Faculté des sciences – Section I, 2905-3901 Hadath-Beyrouth, Liban

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 357 (2019) no. 7, pp. 583-588.

Résumé
Abstract

Soit G un groupe localement compact à base dénombrable dont la représentation régulière gauche est de type I, $\hat{G}$ son dual et $K = {(K_{π})}_{π \in \hat{G}}$ un champ mesurable spécifique d'opérateurs. Dans cette note, on aborde une formule d'inversion pour $L^{p} (G)$ . Soit $1 < p, r \leq 2$ , $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{s} + \frac{1}{r} = 1$ , et $F_{p} : L^{p} \cap L^{1} (G) ⟶ L^{q} (\hat{G})$ la fonction définie par $F_{p} (f) π = π (f) K_{π}^{\frac{1}{q}}$ . L'application $F_{p}$ se prolonge de manière unique en une application linéaire de $L^{p} (G)$ dans $L^{q} (\hat{G})$ , notée $F_{p}$ . Soit ${\bar{F}}_{p}$ la transposée de $F_{p}$ et $f \in L^{p} (G)$ . On prouve que $\bar{f} \in {\bar{F}}_{r} [L^{r} (\hat{G})]$ si et seulement si $F_{p} (f) K^{\frac{1}{p} - \frac{1}{s}} \in L^{r} (\hat{G})$ , et, si c'est le cas, on a

\bar{f} = {\bar{F}}_{r} (K^{\frac{1}{p} - \frac{1}{s}} {[F_{p} (f)]}^{⁎}) .

Let G be a second countable locally compact group with type-I left regular representation, $\hat{G}$ its dual and $K = {(K_{π})}_{π \in \hat{G}}$ a specific measurable field of operators. In this paper, we investigate an inversion formula for $L^{p} (G)$ . Let $1 < p, r \leq 2$ , $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{s} + \frac{1}{r} = 1$ , and $F_{p} : L^{p} \cap L^{1} (G) ⟶ L^{q} (\hat{G})$ be defined by $F_{p} (f) π = π (f) K_{π}^{\frac{1}{q}}$ . The map $F_{p}$ extends uniquely to a linear map of $L^{p} (G)$ into $L^{q} (\hat{G})$ , denoted by $F_{p}$ . Let ${\bar{F}}_{p}$ be the transpose of $F_{p}$ and $f \in L^{p} (G)$ . We prove that $\bar{f} \in {\bar{F}}_{r} [L^{r} (\hat{G})]$ if and only if $F_{p} (f) K^{\frac{1}{p} - \frac{1}{s}} \in L^{r} (\hat{G})$ , and, if that is the case, we have

\bar{f} = {\bar{F}}_{r} (K^{\frac{1}{p} - \frac{1}{s}} {[F_{p} (f)]}^{⁎}) .

Reçu le : 2019-02-22
Accepté le : 2019-06-28
Publié le : 2019-07-01

DOI : 10.1016/j.crma.2019.06.011

Affiliations des auteurs :

Wassim Nasserddine ¹

¹ Université libanaise, Faculté des sciences – Section I, 2905-3901 Hadath-Beyrouth, Liban

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Wassim Nasserddine. L^p−Fourier inversion formula on certain locally compact groups. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 357 (2019) no. 7, pp. 583-588. doi : 10.1016/j.crma.2019.06.011. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2019.06.011/

Bibliographie
Cité par

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Cité par Sources :

^☆ Ce projet a été financé avec le soutien de l'Université libanaise.

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