1 The dispersive long-wave system
In ref. [1], the classical dispersive long-wave system is given by
(1)
∂
u
∂
t
=
(
u
2
−
u
x
+
2
v
)
x
,
∂
v
∂
t
=
(
2
u
v
+
v
x
)
x
,
which is used to describe evolution of the horizontal velocity portion of water waves. We present here the correct form of (1) with conformable operator as
(2)
∂
α
u
∂
t
α
=
2
u
∂
α
u
∂
x
α
−
∂
2
α
u
∂
x
2
α
+
2
∂
α
v
∂
x
α
,
∂
α
v
∂
t
α
=
2
u
∂
α
v
∂
x
α
+
2
v
∂
α
u
∂
x
α
+
∂
2
α
v
∂
x
2
α
.
We present the symmetries of the correct version of conformable dispersive long-wave system described in (2) as
(3)
ξ
1
=
c
1
t
α
+
c
2
t
1
−
α
,
ξ
2
=
c
1
2
α
x
+
c
4
x
1
−
α
+
c
3
α
x
1
−
α
t
α
,
η
1
=
−
c
1
2
u
−
c
3
2
,
η
2
=
−
c
1
v
.
Thus, the Lie algebra of (2) is spanned by the following four generators:
(4)
X
1
=
t
α
∂
∂
t
+
x
2
α
∂
∂
x
−
1
2
u
∂
∂
u
−
v
∂
∂
v
,
X
2
=
t
1
−
α
∂
∂
t
,
X
3
=
x
1
−
α
t
α
α
∂
∂
x
−
1
2
∂
∂
u
,
X
4
=
x
1
−
α
∂
∂
x
.
Below, we will present the correct form of conserved vectors.
For the symmetry
X
1
=
t
α
∂
∂
t
+
x
2
α
∂
∂
x
−
1
2
u
∂
∂
u
−
v
∂
∂
v
, we obtain
(5)
T
1
t
=
c
1
x
α
−
1
−
1
2
u
−
x
2
α
u
x
−
t
α
u
t
+
c
2
x
α
−
1
−
v
−
x
2
α
v
x
−
t
α
v
t
,
T
1
x
=
2
−
1
2
u
−
x
2
α
u
x
−
t
α
u
t
(
c
1
u
−
c
2
v
)
t
1
−
α
−
c
1
1
2
u
x
+
x
2
α
u
x
x
+
1
2
α
u
x
+
1
α
u
t
x
x
1
−
α
t
α
−
1
−
−
v
−
x
2
α
v
x
−
t
α
v
t
(
2
c
1
+
2
c
2
u
+
c
2
x
−
α
+
c
2
(
1
−
α
)
x
−
α
)
t
α
−
1
+
c
2
v
x
+
x
2
α
v
x
x
+
1
2
α
v
x
+
1
α
v
t
x
x
1
−
α
t
α
−
1
.
For the symmetry
X
2
=
t
1
−
α
∂
∂
t
, we obtain
(6)
T
1
t
=
−
c
1
x
α
−
1
t
1
−
α
u
t
−
c
2
x
α
−
1
t
1
−
α
v
t
,
T
1
x
=
−
t
1
−
α
u
t
(
c
1
u
−
c
2
v
)
t
1
−
α
−
c
1
t
1
−
α
u
t
x
x
1
−
α
t
α
−
1
+
t
1
−
α
v
t
(
2
c
1
+
2
c
2
u
+
c
2
x
−
α
+
c
2
(
1
−
α
)
x
−
α
)
t
α
−
1
+
c
2
v
t
x
x
1
−
α
.
For the symmetry
X
3
=
x
1
−
α
t
α
α
∂
∂
x
−
1
2
∂
∂
u
, we obtain
(7)
T
1
t
=
c
1
x
α
−
1
−
1
2
−
x
1
−
α
t
α
α
u
x
−
c
2
t
α
α
v
x
,
T
1
x
=
−
1
2
−
x
1
−
α
t
α
α
u
x
(
c
1
u
−
c
2
v
)
t
1
−
α
−
c
1
(
1
−
α
)
α
u
x
+
1
α
x
u
x
x
x
1
−
2
α
t
2
α
−
1
+
x
1
−
α
t
α
α
v
x
(
2
c
1
+
2
c
2
u
+
c
2
x
−
α
+
c
2
(
1
−
α
)
x
−
α
)
t
α
−
1
+
c
2
(
1
−
α
)
α
v
x
+
1
α
x
v
x
x
x
1
−
2
α
t
2
α
−
1
.
For the symmetry
X
4
=
x
1
−
α
∂
∂
x
, we obtain
(8)
T
1
t
=
−
c
1
u
x
−
c
2
v
x
,
T
1
x
=
−
x
1
−
α
u
x
(
c
1
u
−
c
2
v
)
t
1
−
α
−
c
1
(
(
1
−
α
)
u
x
+
x
u
x
x
)
x
1
−
2
α
t
α
−
1
+
x
1
−
α
v
x
(
2
c
1
+
2
c
2
u
+
c
2
x
−
α
+
c
2
(
1
−
α
)
x
−
α
)
t
α
−
1
+
c
2
(
(
1
−
α
)
v
x
+
x
v
x
x
)
x
1
−
2
α
t
α
−
1
.
2 The Whitham–Broer–Kaup system
The conformable Whitham–Broer–Kaup Wilson system used in ref. [1] is given by
(9)
∂
α
u
∂
t
α
+
u
∂
α
u
∂
x
α
+
μ
∂
2
α
u
∂
x
2
α
+
∂
α
v
∂
x
α
=
0
,
∂
α
v
∂
t
α
+
u
∂
α
v
∂
x
α
+
v
∂
α
u
∂
x
α
−
μ
∂
2
α
v
∂
x
2
α
+
β
∂
3
α
v
∂
x
3
α
=
0
.
We present the following symmetries for system (9)
(10)
ξ
1
=
c
1
t
α
+
c
2
t
1
−
α
,
ξ
2
=
c
1
2
α
x
+
c
4
x
1
−
α
+
c
3
α
x
1
−
α
t
α
,
η
1
=
−
c
1
2
u
+
c
3
,
η
2
=
−
c
1
v
.
Thus, the Lie algebra of (9) is spanned by the following four generators
(11)
X
1
=
t
α
∂
∂
t
+
x
2
α
∂
∂
x
−
1
2
u
∂
∂
u
−
v
∂
∂
v
,
X
2
=
t
1
−
α
∂
∂
t
,
X
3
=
x
1
−
α
t
α
α
∂
∂
x
+
∂
∂
u
,
X
4
=
x
1
−
α
∂
∂
x
.
In the next step, we present the correct version of the conserved vectors for system (9).
For the symmetry
X
1
=
t
α
∂
∂
t
+
x
2
α
∂
∂
x
−
1
2
u
∂
∂
u
−
v
∂
∂
v
, we obtain
(12)
T
1
t
=
c
1
x
α
−
1
−
1
2
u
−
x
2
α
u
x
−
t
α
u
t
+
c
2
x
α
−
1
−
v
−
x
2
α
v
x
−
t
α
v
t
,
T
1
x
=
−
1
2
u
−
x
2
α
u
x
−
t
α
u
t
(
c
1
u
+
c
1
μ
c
2
x
−
α
+
c
2
v
+
c
1
β
(1
−
α
)(1
−
2
α
)
x
−
2
α
−
c
1
μ
(1
−
α
)
x
−
α
−
3
c
2
β
(1
−
α
)
2
x
−
α
+
c
2
β
(2
−
2
α
)(1
−
α
)
x
−
α
)
t
α
−
1
−
1
2
u
x
+
x
2
α
u
x
x
+
1
2
α
u
x
+
1
α
u
t
x
×
(
c
1
μ
x
1
−
α
+
3
β
(1
−
α
)
c
2
x
1
−
2
α
−
c
2
β
x
2
−
2
α
)
t
α
−
1
−
1
2
u
x
x
+
1
2
α
u
x
x
+
x
2
α
u
x
x
x
+
1
2
α
u
x
x
+
1
α
u
t
x
x
×
c
2
x
2
−
2
α
t
α
−
1
+
−
v
−
x
2
α
v
x
−
t
α
v
t
×
(
c
1
+
c
2
u
−
c
2
μ
(1
−
α
)
x
1
−
α
+
c
2
μ
(1
−
α
)
x
−
α
)
t
α
−
1
−
v
x
+
x
2
α
v
x
x
+
1
2
α
v
x
+
1
α
v
t
x
c
2
μ
x
1
−
α
t
α
−
1
.
For the symmetry
X
2
=
t
1
−
α
∂
∂
t
, we obtain
(13)
T
1
t
=
−
c
1
x
α
−
1
t
1
−
α
u
t
−
c
2
x
α
−
1
t
1
−
α
v
t
,
T
1
x
=
−
u
t
(
c
1
u
+
c
1
μ
c
2
x
−
α
+
c
2
v
+
c
1
β
(
1
−
α
)
×
(
1
−
2
α
)
x
−
2
α
−
c
1
μ
(
1
−
α
)
x
−
α
−
3
c
2
β
(
1
−
α
)
2
x
−
α
+
c
2
β
(
2
−
2
α
)
(
1
−
α
)
)
x
−
α
−
u
t
x
(
c
1
μ
x
1
−
α
+
3
β
(
1
−
α
)
c
2
x
1
−
2
α
−
c
2
β
x
2
−
2
α
)
−
u
t
x
x
c
2
x
2
−
2
α
−
v
t
(
c
1
+
c
2
u
−
c
2
μ
(
1
−
α
)
x
1
−
α
+
c
2
μ
(
1
−
α
)
x
−
α
)
−
c
2
μ
x
1
−
α
v
t
x
.
For the symmetry
X
3
=
x
1
−
α
t
α
α
∂
∂
x
+
∂
∂
u
, we obtain
(14)
T
1
t
=
c
1
x
α
−
1
−
1
−
x
1
−
α
t
α
α
u
x
−
c
2
t
α
α
v
x
,
T
1
x
=
−
1
−
x
1
−
α
t
α
α
u
x
(
c
1
u
+
c
1
μ
c
2
x
−
α
+
c
2
v
+
c
1
β
(1
−
α
)(1
−
2
α
)
x
−
2
α
−
c
1
μ
(1
−
α
)
x
−
α
−
3
c
2
β
(1
−
α
)
2
x
−
α
+
c
2
β
(2
−
2
α
)(1
−
α
)
)
x
−
α
t
α
−
1
−
(1
−
α
)
α
u
x
+
1
α
x
u
x
x
(
c
1
μ
x
1
−
α
+
3
β
(1
−
α
)
c
2
x
1
−
2
α
−
c
2
β
x
2
−
2
α
)
t
2
α
−
2
−
(1
−
α
)
α
u
x
x
+
1
α
x
u
x
x
x
+
1
α
u
x
x
×
c
2
x
2
−
2
α
t
α
−
1
+
x
1
−
α
t
α
α
v
x
(2
c
1
+
2
c
2
u
+
c
2
x
−
α
+
c
2
(1
−
α
)
x
−
α
)
t
α
−
1
+
c
2
μ
(1
−
α
)
α
v
x
+
1
α
x
v
x
x
x
1
−
2
α
t
2
α
−
1
.
For the symmetry
X
4
=
x
1
−
α
∂
∂
x
, we obtain
(15)
T
1
t
=
−
c
1
u
x
−
c
2
v
x
,
T
1
x
=
−
x
1
−
α
u
x
(
c
1
u
+
c
1
μ
c
2
x
−
α
+
c
2
v
+
c
1
β
(
1
−
α
)
×
(
1
−
2
α
)
x
−
2
α
−
c
1
μ
(
1
−
α
)
x
−
α
−
3
c
2
β
(
1
−
α
)
2
×
x
−
α
+
c
2
β
(
2
−
2
α
)
(
1
−
α
)
x
−
α
)
t
α
−
1
−
(
(
1
−
α
)
x
−
α
u
x
+
x
1
−
α
u
x
x
)
×
(
c
1
μ
x
1
−
α
+
3
β
(
1
−
α
)
c
2
x
1
−
2
α
−
c
2
β
x
2
−
2
α
)
t
α
−
1
−
(
2
(
1
−
α
)
x
−
α
u
x
x
−
α
(
1
−
α
)
x
−
α
−
1
u
x
+
x
1
−
α
u
x
x
x
)
c
2
x
2
−
2
α
t
α
−
1
−
x
1
−
α
v
x
(
c
1
+
c
2
u
−
c
2
μ
(
1
−
α
)
x
1
−
α
+
c
2
μ
(
1
−
α
)
x
−
α
)
t
α
−
1
−
(
(
1
−
α
)
x
−
α
v
x
+
x
1
−
α
v
x
x
)
c
2
μ
x
1
−
α
t
α
−
1
.
