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Optimal rates of convergence and error localization of Gegenbauer projections
IMA Journal of Numerical Analysis ( IF 2.1 ) Pub Date : 2022-08-24 , DOI: 10.1093/imanum/drac047
Haiyong Wang

Motivated by comparing the convergence behavior of Gegenbauer projections and best approximations, we study the optimal rate of convergence for Gegenbauer projections in the maximum norm. We show that the rate of convergence of Gegenbauer projections is the same as that of best approximations under conditions of the underlying function being either analytic on and within an ellipse and $\lambda \leqslant 0$ or differentiable and $\lambda \leqslant 1$, where $\lambda $ is the parameter in Gegenbauer projections. If the underlying function is analytic and $\lambda>0$ or differentiable and $\lambda>1$, then the rate of convergence of Gegenbauer projections is slower than that of best approximations by factors of $n^{\lambda }$ and $n^{\lambda -1}$, respectively. An exceptional case is functions with endpoint singularities, for which Gegenbauer projections and best approximations converge at the same rate for all $\lambda>-1/2$. For functions with interior or endpoint singularities, we provide a theoretical explanation for the error localization phenomenon of Gegenbauer projections and for why the accuracy of Gegenbauer projections is better than that of best approximations except in small neighborhoods of the critical points. Our analysis provides fundamentally new insight into the power of Gegenbauer approximations and related spectral methods.

中文翻译:

Gegenbauer 投影的最佳收敛速度和误差定位

通过比较 Gegenbauer 投影和最佳近似的收敛行为,我们研究了 Gegenbauer 投影在最大范数下的最佳收敛速度。我们证明了 Gegenbauer 投影的收敛速度与在基本函数在椭圆上和内解析且 $\lambda \leqslant 0$ 或可微分且 $\lambda \leqslant 1$ 的条件下的最佳逼近相同。 ,其中 $\lambda $ 是 Gegenbauer 投影中的参数。如果基础函数是解析函数且 $\lambda>0$ 或可微分且 $\lambda>1$,则 Gegenbauer 投影的收敛速度慢于因子 $n^{\lambda }$ 和$n^{\lambda -1}$,分别。一个例外情况是具有端点奇点的函数,对于所有 $\lambda>-1/2$,Gegenbauer 投影和最佳近似以相同的速率收敛。对于具有内部奇点或端点奇点的函数,我们提供了对 Gegenbauer 投影的误差定位现象以及为什么 Gegenbauer 投影的精度优于最佳近似值的理论解释,除了在临界点的小邻域中。我们的分析从根本上提供了对 Gegenbauer 近似和相关光谱方法的功效的新见解。我们为 Gegenbauer 投影的误差定位现象以及为什么 Gegenbauer 投影的精度优于最佳近似值提供了理论解释,但在临界点的小邻域中除外。我们的分析从根本上提供了对 Gegenbauer 近似和相关光谱方法的功效的新见解。我们为 Gegenbauer 投影的误差定位现象以及为什么 Gegenbauer 投影的精度优于最佳近似值提供了理论解释,但在临界点的小邻域中除外。我们的分析从根本上提供了对 Gegenbauer 近似和相关光谱方法的功效的新见解。
更新日期:2022-08-24
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