Pour un morphisme $T\to S$, plat et de présentation finie, l’enveloppe étale — un avatar du ${\pi }_0(T∕S)$ — peut ne pas exister ; par contre l’enveloppe étale séparée, i.e., celle qui est universelle pour les schémas étales et séparés sur $S$, existe dès que $S$ est localement connexe. On la note $T\to {\pi }^s(T∕S)$ ; c’est le quotient de $T$ par la relation d’équivalence minimale à graphe ouvert et fermé dans $T{\times }_{S}T$ ; cette construction permet de démontrer qu’un morphisme fpqc de changement de base $S^{\prime }\to S$ induit un isomorphisme ${\pi }^s(S^{\prime }{\times }_{S}T∕S^{\prime })\to S^{\prime }{\times }_S{\pi }^s(T∕S)$ si ses fibres géométriques sont connexes. Par ailleurs, lorsque $S$ est normal, disons intègre, et que le morphisme $T\to S$ est normal, on dispose d’un isomorphisme ${\pi }^s(T_{\xi }∕\xi )\simeq {\pi }^s{(T∕S)}_{\xi }$ ; il permet d’étendre à des morphismes normaux des résultats connus sur un corps de base. Toujours sous des hypothèses de normalité, le morphisme canonique ${\pi }_0(T∕S)\to {\pi }^s(T∕S)$ fait apparaître le schéma ${\pi }^s$ comme l’enveloppe séparée de l’espace algébrique ${\pi }_0$.

For a flat morphism $T\to S$ of finite presentation, the étale envelope — an avatar of ${\pi }_0(T∕S)$ — may fail to exist; but, the separated étale envelope, i.e., the one which is universal for the separated étale $S$-schemes only, is shown to exist as soon as $S$ is locally connected; denoted ${\pi }^s(T∕S)$, it is the quotient of $T$ by the equivalence relation which is minimal among those with clopen graph in $T{\times }_{S}T$; from that we prove that, for a fpqc base change $S^{\prime }\to S$, the morphism ${\pi }^s(S^{\prime }{\times }_{S}T∕S^{\prime })\to S^{\prime }{\times }_S{\pi }^s(T∕S)$ is an isomorphism if the geometric fibres of $S^{\prime }\to S$ are connected. When $S$ is integral with generic point $\xi$, and if both $S$ and the morphism $T\to S$ are normal, then one gets the isomorphism ${\pi }^s(T_{\xi }∕\xi )\simeq {\pi }^s{(T∕S)}_{\xi }$, on the strength of which one can often extend to $S$ results previously proven when the base is a field.

倾倒态射$吨\to \mathrm{小号}$, plat et de présentation finie, l'enveloppe étale — un avatar du${\pi }_0(吨∕\mathrm{小号})$— peut ne pas exister ; par contre l'enveloppe étale s é par é e , ie, celle qui est Universelle pour les schémas étales et s é par é s sur$\mathrm{小号}$, 存在的存在$\mathrm{小号}$est localement connexe。注意事项$吨\to {\pi }^s(吨∕\mathrm{小号})$; c'est le quotient de$吨$par la relationship d'équivalence minimume à graphe ouvert et fermé dans$吨{\times }_{\mathrm{小号}}吨$; cette construction permet de démontrer qu'un morphisme fpqc de changement de base${\mathrm{小号}}^{\text{'}}\to \mathrm{小号}$同构${\pi }^s({\mathrm{小号}}^{\text{'}}{\times }_{\mathrm{小号}}吨∕{\mathrm{小号}}^{\text{'}})\to {\mathrm{小号}}^{\text{'}}{\times }_{\mathrm{小号}}{\pi }^s(吨∕\mathrm{小号})$si ses 纤维几何体sont connexes。Par ailleurs, lorsque$\mathrm{小号}$est normal, disons intègre, et que le morphisme$吨\to \mathrm{小号}$est normal, on dispose d'un isomorphisme${\pi }^s({吨}_{\xi }∕\xi )\simeq {\pi }^s{(吨∕\mathrm{小号})}_{\xi }$; il permet d'étendre à des morphismes normaux des resultats connus sur un corps de base。Toujours sous des hypotheses de normalité, le morphisme canonique${\pi }_0(吨∕\mathrm{小号})\to {\pi }^s(吨∕\mathrm{小号})$既成事实${\pi }^s$comme l'enveloppe séparée de l'espace algébrique${\pi }_0$.

对于平面态射$吨\to \mathrm{小号}$有限呈现的étale信封——一个化身${\pi }_0(吨∕\mathrm{小号})$——可能不存在；但是，分离的étale信封，即对分离的étale通用的信封$\mathrm{小号}$- 仅方案，一旦显示就存在$\mathrm{小号}$本地连接；表示${\pi }^s(吨∕\mathrm{小号})$, 它是的商$吨$由具有 cloopen 图的那些中最小的等价关系$吨{\times }_{\mathrm{小号}}吨$; 由此我们证明，对于fpqc基数变化${\mathrm{小号}}^{\text{'}}\to \mathrm{小号}$, 态射${\pi }^s({\mathrm{小号}}^{\text{'}}{\times }_{\mathrm{小号}}吨∕{\mathrm{小号}}^{\text{'}})\to {\mathrm{小号}}^{\text{'}}{\times }_{\mathrm{小号}}{\pi }^s(吨∕\mathrm{小号})$是一个同构，如果几何纤维${\mathrm{小号}}^{\text{'}}\to \mathrm{小号}$连接。什么时候$\mathrm{小号}$与泛型点是一体的$\xi$, 如果两者$\mathrm{小号}$和态射$吨\to \mathrm{小号}$是正常的，那么一个得到同构${\pi }^s({吨}_{\xi }∕\xi )\simeq {\pi }^s{(吨∕\mathrm{小号})}_{\xi }$, 其强度通常可以扩展到$\mathrm{小号}$先前证明的结果是当基础是一个字段时。