We give a fully faithful integral model for simply connected finite complexes in terms of E ∞ \mathbb {E}_{\infty } -ring spectra and the Nikolaus–Scholze Frobenius. The key technical input is the development of a homotopy coherent Frobenius action on a certain subcategory of p p -complete E ∞ \mathbb {E}_{\infty } -rings for each prime p p . Using this, we show that the data of a simply connected finite complex X X is the data of its Spanier-Whitehead dual, as an E ∞ \mathbb {E}_{\infty } -ring, together with a trivialization of the Frobenius action after completion at each prime.In producing the above Frobenius action, we explore two ideas which may be of independent interest. The first is a more general action of Frobenius in equivariant homotopy theory; we show that a version of Quillen’s Q Q -construction acts on the ∞ \infty -category of E ∞ \mathbb {E}_{\infty } -rings with “genuine equivariant multiplication,” which we call global algebras. The second is a “pre-group-completed” variant of algebraic K K -theory which we call partial K K -theory. We develop the notion of partial K K -theory and give a computation of the partial K K -theory of F p \mathbb {F}_p up to p p -completion.

中文翻译：

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通过更高 Frobenius 的空间积分模型

我们根据 E ∞ \mathbb {E}_{\infty } -环谱和 Nikolaus-Scholze Frobenius 给出了一个完全忠实的积分模型。关键的技术投入是在每个素数 pp 的 pp -complete E ∞ \mathbb {E}_{\infty } -rings 的某个子类别上开发同伦相干 Frobenius 动作。使用这个，我们证明了一个简单连接的有限复数 XX 的数据是它的 Spanier-Whitehead 对偶的数据，作为一个 E ∞ \mathbb {E}_{\infty } -环，以及 Frobenius 动作的平凡化在每个素数完成后。在产生上述 Frobenius 动作时，我们探讨了两个可能具有独立兴趣的想法。第一个是 Frobenius 在等变同伦理论中更一般的作用；我们证明了 Quillen 的 QQ 构造的一个版本作用于 E ∞ \mathbb {E}_{\infty } 的 ∞ \infty -范畴，具有“真正的等变乘法”，我们称之为全局代数。第二种是代数 KK 理论的“前群完成”变体，我们称之为部分 KK 理论。我们发展了偏 KK 理论的概念，并给出了 F p \mathbb {F}_p 直到 pp 完成的偏 KK 理论的计算。我们证明了 Quillen 的 QQ 构造的一个版本作用于 E ∞ \mathbb {E}_{\infty } 的 ∞ \infty -范畴，具有“真正的等变乘法”，我们称之为全局代数。第二种是代数 KK 理论的“前群完成”变体，我们称之为部分 KK 理论。我们发展了偏 KK 理论的概念，并给出了 F p \mathbb {F}_p 直到 pp 完成的偏 KK 理论的计算。我们证明了 Quillen 的 QQ 构造的一个版本作用于 E ∞ \mathbb {E}_{\infty } 的 ∞ \infty -范畴，具有“真正的等变乘法”，我们称之为全局代数。第二种是代数 KK 理论的“前群完成”变体，我们称之为部分 KK 理论。我们发展了偏 KK 理论的概念，并给出了 F p \mathbb {F}_p 直到 pp 完成的偏 KK 理论的计算。第二种是代数 KK 理论的“前群完成”变体，我们称之为部分 KK 理论。我们发展了偏 KK 理论的概念，并给出了 F p \mathbb {F}_p 直到 pp 完成的偏 KK 理论的计算。第二种是代数 KK 理论的“前群完成”变体，我们称之为部分 KK 理论。我们发展了偏 KK 理论的概念，并给出了 F p \mathbb {F}_p 直到 pp 完成的偏 KK 理论的计算。