A vertex subset $S$ of a graph $G$ constitutes a 1-perfect code if the one-balls centered at the nodes in $S$ effect a vertex partition of $G$ . This paper considers the quad-cube $CQ_{m}$ that is a connected $(m+2)$ -regular spanning subgraph of the hypercube $Q_{4m+2}$ , and shows that $CQ_{m}$ admits a vertex partition into 1-perfect codes iff $m=2^{k}-3$ , where $k\ge 2$ . The scheme for that purpose makes use of a procedure by Jha and Slutzki that constructs Hamming codes using a Latin square. The result closely parallels the existence of a 1-perfect code over the dual-cube, which is another derivative of the hypercube.

中文翻译：

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1-四方立方体上的完美代码

一个顶点子集 $新元图的 $G$如果 one-balls 以节点为中心，则构成 1 完美码 $新元实现顶点分割 $G$ . 本文考虑四方 $CQ_{m}$那是一个连接的 $(m+2)$ - 超立方体的正则跨越子图 $Q_{4m+2}$ ，并表明 $CQ_{m}$承认一个顶点划分为 1-完美代码 iff $m=2^{k}-3$ ， 在哪里 $k\ge 2$ . 用于该目的的方案使用了 Jha 和 Slutzki 的程序，该程序使用拉丁方构造汉明码。结果与双立方体上存在 1 完美码非常相似，它是超立方体的另一个导数。