We investigate a privacy-signaling game problem in which a sender with privacy concerns observes a pair of correlated random vectors which are modeled as jointly Gaussian. The sender aims to hide one of these random vectors and convey the other one whereas the objective of the receiver is to accurately estimate both of the random vectors. We analyze these conflicting objectives in a game theoretic framework with quadratic costs where depending on the commitment conditions (of the sender), we consider Nash or Stackelberg (Bayesian persuasion) equilibria. We show that a payoff dominant Nash equilibrium among all admissible policies is attained by a set of explicitly characterized linear policies. We also show that a payoff dominant Nash equilibrium coincides with a Stackelberg equilibrium. We formulate the information bottleneck problem within our Stackelberg framework under the mean squared error distortion criterion where the information bottleneck setup has a further restriction that only one of the random variables is observed at the sender. We show that this MMSE Gaussian Information Bottleneck Problem admits a linear solution which is explicitly characterized in the paper. We provide explicit conditions on when the optimal solutions, or equilibrium solutions in the Nash setup, are informative or noninformative.

中文翻译：

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二次隐私信号博弈和高斯源的 MMSE 信息瓶颈问题

我们研究了一个隐私信号博弈问题，其中有隐私问题的发送者观察到一对相关的随机向量，这些向量被建模为联合高斯。发送者的目标是隐藏其中一个随机向量并传达另一个，而接收者的目标是准确估计这两个随机向量。我们在具有二次成本的博弈论框架中分析这些相互冲突的目标，其中取决于（发送者的）承诺条件，我们考虑纳什或斯塔克伯格（贝叶斯说服）均衡。我们表明，通过一组明确表征的线性策略，可以在所有可接受的策略中实现收益占优的纳什均衡。我们还表明，收益占主导地位的纳什均衡与斯塔克尔伯格均衡一致。我们在均方误差失真标准下在我们的 Stackelberg 框架内制定信息瓶颈问题，其中信息瓶颈设置具有进一步的限制，即在发送方仅观察到一个随机变量。我们证明了这个 MMSE 高斯信息瓶颈问题承认了一个线性解决方案，该解决方案在论文中得到了明确的描述。我们提供了关于最佳解决方案或纳什设置中的平衡解决方案何时是信息性或非信息性的明确条件。我们证明了这个 MMSE 高斯信息瓶颈问题承认了一个线性解决方案，该解决方案在论文中得到了明确的描述。我们提供了关于最佳解决方案或纳什设置中的平衡解决方案何时是信息性或非信息性的明确条件。我们证明了这个 MMSE 高斯信息瓶颈问题承认了一个线性解决方案，该解决方案在论文中得到了明确的描述。我们提供了关于最佳解决方案或纳什设置中的平衡解决方案何时是信息性或非信息性的明确条件。