We consider the energy supercritical d + 1 d+1 -dimensional semi-linear heat equation ∂ t u = Δ u + u p ,     x ∈ R d + 1 ,     p ≥ 3 ,   d ≥ 14. \begin{equation*} \partial _tu=\Delta u+u^{p}, \ \ x\in \Bbb R^{d+1}, \ \ p\geq 3, \ d\geq 14. \end{equation*} A fundamental open problem on this canonical nonlinear model is to understand the possible blow-up profiles appearing after renormalisation of a singularity. We exhibit in this paper a new scenario corresponding to the first example of a strongly anisotropic blow-up bubble: the solution displays a completely different behaviour depending on the considered direction in space. A fundamental step of the analysis is to solve the reconnection problem in order to produce finite energy solutions which is the heart of the matter. The corresponding anistropic mechanism is expected to be of fundamental importance in other settings in particular in fluid mechanics. The proof relies on a new functional framework for the construction and stabilisation of type II bubbles in the parabolic setting using energy estimates only, and allows us to exhibit new unexpected blow-up speeds.

中文翻译：

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强各向异性 II 型在孤立点爆炸

我们考虑能量超临界 d + 1 d+1 维半线性热方程 ∂ tu = Δ u + up , x ∈ R d + 1 , p ≥ 3 , d ≥ 14。 \begin{equation*} \partial _tu =\Delta u+u^{p}, \ \ x\in \Bbb R^{d+1}, \ \ p\geq 3, \ d\geq 14. \end{equation*}这个典型的非线性模型是为了理解在奇点重整化后可能出现的爆炸曲线。我们在本文中展示了一个新场景，对应于强各向异性气泡的第一个示例：该解决方案根据所考虑的空间方向显示完全不同的行为。分析的一个基本步骤是解决重新连接问题，以产生有限能量解决方案，这是问题的核心。预计相应的各向异性机制在其他环境中，特别是在流体力学中具有根本重要性。该证明依赖于一个新的功能框架，用于仅使用能量估计在抛物线设置中构建和稳定 II 型气泡，并允许我们展示新的意外爆炸速度。预计相应的各向异性机制在其他环境中，特别是在流体力学中具有根本重要性。该证明依赖于一个新的功能框架，用于仅使用能量估计在抛物线设置中构建和稳定 II 型气泡，并允许我们展示新的意外爆炸速度。预计相应的各向异性机制在其他环境中，特别是在流体力学中具有根本重要性。该证明依赖于一个新的功能框架，用于仅使用能量估计在抛物线设置中构建和稳定 II 型气泡，并允许我们展示新的意外爆炸速度。