SIAM Journal on Numerical Analysis, Volume 60, Issue 3, Page 1111-1135, June 2022.
Minimum residual methods such as the least-squares finite element method (FEM) or the discontinuous Petrov--Galerkin (DPG) method with optimal test functions usually exclude singular data, e.g., non-square-integrable loads. We consider a DPG method and a least-squares FEM for the Poisson problem. For both methods we analyze regularization approaches that allow the use of $H^{-1}$ loads and also study the case of point loads. For all cases we prove appropriate convergence orders. We present various numerical experiments that confirm our theoretical results. Our approach extends to general well-posed second-order problems.

中文翻译：

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具有奇异数据的二阶 PDE 的 MINRES

SIAM 数值分析杂志，第 60 卷，第 3 期，第 1111-1135 页，2022 年 6 月。
最小残差方法，例如最小二乘有限元法 (FEM) 或具有最佳测试函数的不连续 Petrov-Galerkin (DPG) 方法通常排除奇异数据，例如非平方可积载荷。我们考虑使用 DPG 方法和最小二乘 FEM 来解决 Poisson 问题。对于这两种方法，我们分析了允许使用 $H^{-1}$ 负载的正则化方法，并研究了点负载的情况。对于所有情况，我们证明了适当的收敛顺序。我们提出了各种数值实验来证实我们的理论结果。我们的方法扩展到一般适定二阶问题。