In this paper, we study the pattern occurrence in k-ary words. We prove an explicit upper bound on the number of k-ary words avoiding any given pattern using a random walk argument. Additionally, we reproduce one already known result on the exponential rate of growth of pattern occurrence in words and establish a simple connection among pattern occurrences in permutations and k-ary words. A simple yet interesting consequence of this connection is that the Wilf-equivalence of two patterns in words implies their Wilf-equivalence in permutations.

中文翻译：

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重新审视 k 元词中的模式出现：一些新旧观察

在本文中，我们研究了k元词中的模式出现。我们使用随机游走参数证明了避免任何给定模式的k元词数量的明确上限。此外，我们重现了一个关于单词中模式出现的指数增长率的已知结果，并在排列中的模式出现和k元单词之间建立了简单的联系。这种联系的一个简单而有趣的结果是，两个模式在单词中的 Wilf 等价意味着它们在排列中的 Wilf 等价。