In this work, a quadtree-polygonal smoothed finite element method is proposed for adaptive consistent framework of phase field model on brittle fracture problems. A Smoothed Galerkin Weak form aided with the gradient smoothing technique is formulated to construct the variational formulations for both displacement and phase field. Staggered scheme is employed to solve the coupled phase and displacement field, in which the displacement field is obtained by Newton iterating and central difference method for implicit and explicit dynamic, respectively, while the phase field is solved directly with a linear equation. The critical history energy in the phase field fracture model is obtained with spectral decomposition. In order to acquire high efficiency without accuracy loss, a novel quadtree-based adaptive algorithm is developed for phase field fracture model, and the nodal phase field value is adopted as the direct indicator for mesh refinement. In this way, mesh local refinement is implemented with quadtree subdivision when the nodal phase field value is achieved the given threshold. Meanwhile, arbitrary sided polygonal elements provide an effective way to connect different mesh regions with different sizes. In other words, there is no hanging node but the connecting node on polygonal elements. Several numerical examples are performed for validating the feasibility of the proposed approach, in which the adaptive quadtree-polygonal method can save much computational costs without accuracy loss.

在这项工作中，针对脆性断裂问题的相场模型的自适应一致框架提出了四叉树-多边形平滑有限元方法。用梯度平滑技术辅助的平滑伽辽金弱形式被公式化以构建位移和相场的变分公式。采用交错方案求解耦合的相位和位移场，其中位移场分别通过牛顿迭代法和显式中心差分法获得，而相位场直接用线性方程求解。相场断裂模型中的临界历史能量是通过谱分解获得的。为了在不损失精度的情况下获得高效率，针对相场断裂模型开发了一种新的基于四叉树的自适应算法，并采用节点相场值作为网格细化的直接指标。这样，当节点相位场值达到给定阈值时，通过四叉树细分实现网格局部细化。同时，任意边的多边形元素提供了连接不同尺寸的不同网格区域的有效方法。换句话说，多边形元素上没有悬挂节点，而是连接节点。进行了几个数值例子来验证所提出方法的可行性，其中自适应四叉树多边形方法可以在不损失精度的情况下节省大量计算成本。当节点相位场值达到给定阈值时，使用四叉树细分实现网格局部细化。同时，任意边的多边形元素提供了连接不同尺寸的不同网格区域的有效方法。换句话说，多边形元素上没有悬挂节点，而是连接节点。进行了几个数值例子来验证所提出方法的可行性，其中自适应四叉树多边形方法可以在不损失精度的情况下节省大量计算成本。当节点相位场值达到给定阈值时，使用四叉树细分实现网格局部细化。同时，任意边的多边形元素提供了连接不同尺寸的不同网格区域的有效方法。换句话说，多边形元素上没有悬挂节点，而是连接节点。进行了几个数值例子来验证所提出方法的可行性，其中自适应四叉树多边形方法可以在不损失精度的情况下节省大量计算成本。多边形元素上没有悬挂节点，而是连接节点。进行了几个数值例子来验证所提出方法的可行性，其中自适应四叉树多边形方法可以在不损失精度的情况下节省大量计算成本。多边形元素上没有悬挂节点，而是连接节点。执行了几个数值例子来验证所提出方法的可行性，其中自适应四叉树多边形方法可以节省大量计算成本而不会损失精度。