Bounds are obtained for the efficiency or mean to max ratio $E(\Omega)$ for the first Dirichlet eigenfunction (positive) for open, connected sets $\Omega$ with finite measure in Euclidean space $\mathbb{R}^m$. It is shown that (i) localisation implies vanishing efficiency, (ii) a vanishing upper bound for the efficiency implies localisation, (iii) localisation occurs for the first Dirichlet eigenfunctions for a wide class of elongating bounded, open, convex and planar sets, (iv) if $\Omega_n$ is any quadrilateral with perpendicular diagonals of lengths $1$ and $n$ respectively, then the sequence of first Dirichlet eigenfunctions localises and $E(\Omega_n)=O(n^{-2/3}\log n)$. This disproves some claims in the literature. A key technical tool is the Feynman–Kac formula.

中文翻译：

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第一个狄利克雷特征函数的效率和定位

在欧几里德空间中使用有限测度的开放、连通集 $\Omega$ 的第一个 Dirichlet 特征函数（正）的效率或均值与最大比值 $E(\Omega)$ 获得边界 $\mathbb{R}^m$ . 结果表明，（i）定位意味着效率消失，（ii）效率的消失上限意味着定位，（iii）定位发生在第一狄利克雷特征函数中，适用于广泛的伸长有界集、开集、凸集和平面集， (iv) 如果 $\Omega_n$ 是任意长度分别为 $1$ 和 $n$ 的垂直对角线的四边形，则第一狄利克雷特征函数序列局部化且 $E(\Omega_n)=O(n^{-2/3} \log n)$。这反驳了文献中的一些说法。一个关键的技术工具是 Feynman-Kac 公式。