For relational structures A, B of the same signature, the Promise Constraint Satisfaction Problem PCSP(A,B) asks whether a given input structure maps homomorphically to A or does not even map to B. We are promised that the input satisfies exactly one of these two cases. If there exists a structure C with homomorphisms $A\to C\to B$, then PCSP(A,B) reduces naturally to CSP(C). To the best of our knowledge all known tractable PCSPs reduce to tractable CSPs in this way. However Barto showed that some PCSPs over finite structures A, B require solving CSPs over infinite C. We show that even when such a reduction to finite C is possible, this structure may become arbitrarily large. For every integer $n>1$ and every prime p we give A, B of size n with a single relation of arity $n^p$ such that PCSP(A, B) reduces via a chain of homomorphisms $ A\to C\to B$ to a tractable CSP over some C of size p but not over any smaller structure. In a second family of examples, for every prime $p\geq 7$ we construct A, B of size $p-1$ with a single ternary relation such that PCSP(A, B) reduces via $A\to C\to B$ to a tractable CSP over some C of size p but not over any smaller structure. In contrast we show that if A, B are graphs and PCSP(A,B) reduces to tractable CSP(C) for some finite C, then already A or B has tractable CSP. This extends results and answers a question of Deng et al.

中文翻译：

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减少为大型 CSP 的小型 PCSP

对于具有相同签名的关系结构 A、B，承诺约束满足问题 PCSP(A,B) 询问给定的输入结构是否同态映射到 A 或什至不映射到 B。我们承诺输入正好满足以下条件之一这两种情况。如果存在具有同态 $A\to C\to B$ 的结构 C，则 PCSP(A,B) 自然地归约为 CSP(C)。据我们所知，所有已知的易处理的 PCSP 都以这种方式简化为易处理的 CSP。然而，Barto 表明，有限结构 A、B 上的一些 PCSP 需要求解无限 C 上的 CSP。我们表明，即使可以简化到有限 C，这种结构也可能变得任意大。对于每个整数 $n>1$ 和每个素数 p，我们给出大小为 n 的 A、B 与单个元关系 $n^p$ 使得 PCSP(A, B) 通过一系列同态 $ A\to C\to B$ 减少到某个大小为 p 的 C 上的易处理的 CSP，但不是在任何更小的结构上。在第二类例子中，对于每个素数 $p\geq 7$ 我们构造大小为 $p-1$ 的 A, B 具有单个三元关系，使得 PCSP(A, B) 通过 $A\to C\to 减少B$ 在一些大小为 p 的 C 上但不是在任何较小的结构上的易处理的 CSP。相比之下，我们表明，如果 A、B 是图并且 PCSP(A,B) 减少到某些有限 C 的易处理 CSP(C)，那么 A 或 B 已经具有易处理的 CSP。这扩展了结果并回答了邓等人的问题。B) 通过 $A\to C\to B$ 减少到一个可处理的 CSP，超过一些大小为 p 的 C，但不是任何更小的结构。相比之下，我们表明，如果 A、B 是图并且 PCSP(A,B) 减少到某些有限 C 的易处理 CSP(C)，那么 A 或 B 已经具有易处理的 CSP。这扩展了结果并回答了邓等人的问题。B) 通过 $A\to C\to B$ 减少到一个可处理的 CSP，超过一些大小为 p 的 C，但不是任何更小的结构。相比之下，我们表明，如果 A、B 是图并且 PCSP(A,B) 减少到某些有限 C 的易处理 CSP(C)，那么 A 或 B 已经具有易处理的 CSP。这扩展了结果并回答了邓等人的问题。