In a 2005 paper, Casacuberta, Scevenels and Smith construct a homotopy idempotent functor $E$ on the category of simplicial sets with the property that whether it can be expressed as localization with respect to a map $f$ is independent of the ZFC axioms. We show that this construction can be carried out in homotopy type theory. More precisely, we give a general method of associating to a suitable (possibly large) family of maps, a reflective subuniverse of any universe $\mathcal{U}$. When specialized to an appropriate family, this produces a localization which when interpreted in the $\infty$-topos of spaces agrees with the localization corresponding to $E$. Our approach generalizes the approach of [CSS] in two ways. First, by working in homotopy type theory, our construction can be interpreted in any $\infty$-topos. Second, while the local objects produced by [CSS] are always 1-types, our construction can produce $n$-types, for any $n$. This is new, even in the $\infty$-topos of spaces. In addition, by making use of universes, our proof is very direct. Along the way, we prove many results about "small" types that are of independent interest. As an application, we give a new proof that separated localizations exist. We also give results that say when a localization with respect to a family of maps can be presented as localization with respect to a single map, and show that the simplicial model satisfies a strong form of the axiom of choice which implies that sets cover and that the law of excluded middle holds.

中文翻译：

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不可访问的本地化

在 2005 年的一篇论文中，Casacuberta、Scevenels 和 Smith 在单纯集范畴上构造了一个同伦幂等函子 $E$，其性质是它是否可以表示为相对于地图 $f$ 的定位与 ZFC 公理无关。我们表明这种构造可以在同伦类型理论中进行。更准确地说，我们给出了一种与合适的（可能很大的）地图族相关联的一般方法，这是任何宇宙 $\mathcal{U}$ 的反射子宇宙。当专门用于适当的系列时，这会产生一个本地化，当在空间的 $\infty$-topos 中解释时，它与对应于 $E$ 的本地化一致。我们的方法以两种方式概括了 [CSS] 的方法。首先，通过在同伦类型理论中工作，我们的构造可以解释为任何 $\infty$-topos。第二，虽然 [CSS] 生成的本地对象总是 1-types，但我们的构造可以为任何 $n$ 生成 $n$-types。这是新的，即使在空间的 $\infty$-topos 中也是如此。此外，通过使用宇宙，我们的证明非常直接。在此过程中，我们证明了许多关于具有独立兴趣的“小”类型的结果。作为一个应用程序，我们提供了一个新的证据，证明存在分离的本地化。我们还给出了结果，当关于一系列地图的定位可以表示为关于单个地图的定位时，并表明单纯模型满足选择公理的强形式，这意味着集合覆盖和排中律成立。此外，通过使用宇宙，我们的证明非常直接。在此过程中，我们证明了许多关于具有独立兴趣的“小”类型的结果。作为一个应用程序，我们提供了一个新的证据，证明存在分离的本地化。我们还给出了结果，当关于一系列地图的定位可以表示为关于单个地图的定位时，并表明单纯模型满足选择公理的强形式，这意味着集合覆盖和排中律成立。此外，通过使用宇宙，我们的证明非常直接。在此过程中，我们证明了许多关于具有独立兴趣的“小”类型的结果。作为一个应用程序，我们提供了一个新的证据，证明存在分离的本地化。我们还给出了结果，当关于一系列地图的定位可以表示为关于单个地图的定位时，并表明单纯模型满足选择公理的强形式，这意味着集合覆盖和排中律成立。