Financial networks model a set of financial institutions (firms) interconnected by obligations. Recent work has introduced to this model a class of obligations called credit default swaps, a certain kind of financial derivatives. The main computational challenge for such systems is known as the clearing problem, which is to determine which firms are in default and to compute their exposure to systemic risk, technically known as their recovery rates. It is known that the recovery rates form the set of fixed points of a simple function, and that these fixed points can be irrational. Furthermore, Schuldenzucker et al. (2016) have shown that finding a weakly (or "almost") approximate (rational) fixed point is PPAD-complete. In light of the above, we further study the clearing problem from the point of view of irrationality and approximation strength. Firstly, as weakly approximate solutions are hard to justify for financial institutions, we study the complexity of finding a strongly (or "near") approximate solution, and show FIXP-completeness. Secondly, we study the structural properties required for irrationality, and we give necessary conditions for irrational solutions to emerge: The presence of certain types of cycles in a financial network forces the recovery rates to take the form of roots of second- or higher-degree polynomials. In the absence of a large subclass of such cycles, we study the complexity of finding an exact fixed point, which we show to be a problem close to, albeit outside of, PPAD.

中文翻译：

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金融衍生品金融网络中的强近似和非理性

金融网络对一组通过义务相互关联的金融机构（公司）进行建模。最近的工作为该模型引入了一类称为信用违约掉期的义务，这是一种金融衍生品。这种系统的主要计算挑战被称为清算问题，即确定哪些公司违约并计算它们面临的系统性风险，技术上称为回收率。众所周知，恢复率形成了一个简单函数的不动点集，而这些不动点可能是不合理的。此外，Schuldenzucker 等人。(2016) 已经表明，找到一个弱（或“几乎”）近似（有理）不动点是 PPAD 完全的。综上所述，我们从非理性和逼近强度的角度进一步研究清算问题。首先，由于金融机构很难证明弱近似解是合理的，我们研究了寻找强（或“接近”）近似解的复杂性，并证明了 FIXP 完整性。其次，我们研究了非理性所需的结构特性，并给出了非理性解决方案出现的必要条件：金融网络中某些类型周期的存在迫使恢复率采取二阶或更高阶根的形式多项式。在没有此类循环的大子类的情况下，我们研究了找到精确不动点的复杂性，我们证明这是一个接近 PPAD 的问题，尽管在 PPAD 之外。由于金融机构很难证明弱近似解是合理的，我们研究了寻找强（或“接近”）近似解的复杂性，并展示了 FIXP 完整性。其次，我们研究了非理性所需的结构特性，并给出了非理性解决方案出现的必要条件：金融网络中某些类型周期的存在迫使恢复率采取二阶或更高阶根的形式多项式。在没有此类循环的大子类的情况下，我们研究了找到精确不动点的复杂性，我们证明这是一个接近 PPAD 的问题，尽管在 PPAD 之外。由于金融机构很难证明弱近似解是合理的，因此我们研究了寻找强（或“接近”）近似解的复杂性，并证明了 FIXP 完整性。其次，我们研究了非理性所需的结构特性，并给出了非理性解决方案出现的必要条件：金融网络中某些类型周期的存在迫使恢复率采取二阶或更高阶根的形式多项式。在没有此类循环的大子类的情况下，我们研究了找到精确不动点的复杂性，我们证明这是一个接近 PPAD 的问题，尽管在 PPAD 之外。我们研究了非理性所需的结构特性，并给出了非理性解决方案出现的必要条件：金融网络中某些类型周期的存在迫使恢复率采用二次或更高次多项式的根的形式。在没有此类循环的大子类的情况下，我们研究了找到精确不动点的复杂性，我们证明这是一个接近 PPAD 的问题，尽管在 PPAD 之外。我们研究了非理性所需的结构特性，并给出了非理性解决方案出现的必要条件：金融网络中某些类型周期的存在迫使恢复率采用二次或更高次多项式的根的形式。在没有此类循环的大子类的情况下，我们研究了找到精确不动点的复杂性，我们证明这是一个接近 PPAD 的问题，尽管在 PPAD 之外。