The causal structure of a unitary transformation is the set of relations of possible influence between any input subsystem and any output subsystem. We study whether such causal structure can be understood in terms of compositional structure of the unitary. Given a quantum circuit with no path from input system $A$ to output system $B$, system $A$ cannot influence system $B$. Conversely, given a unitary $U$ with a no-influence relation from input $A$ to output $B$, it follows from [B. Schumacher and M. D. Westmoreland, Quantum Information Processing 4 no. 1, (Feb, 2005)] that there exists a circuit decomposition of $U$ with no path from $A$ to $B$. However, as we argue, there are unitaries for which there does not exist a circuit decomposition that makes all causal constraints evident $\textit{simultaneously}$. To address this, we introduce a new formalism of `extended circuit diagrams', which goes beyond what is expressible with quantum circuits, with the core new feature being the ability to represent direct sum structures in addition to sequential and tensor product composition. A $\textit{causally faithful}$ extended circuit decomposition, representing a unitary $U$, is then one for which there is a path from an input $A$ to an output $B$ if and only if there actually is influence from $A$ to $B$ in $U$. We derive causally faithful extended circuit decompositions for a large class of unitaries, where in each case, the decomposition is implied by the unitary's respective causal structure. We hypothesize that every finite-dimensional unitary transformation has a causally faithful extended circuit decomposition.

中文翻译：

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幺正变换的因果结构和组合结构

酉变换的因果结构是任何输入子系统和任何输出子系统之间可能影响的一组关系。我们研究这种因果结构是否可以从幺正的组成结构的角度来理解。给定一个没有从输入系统 $A$ 到输出系统 $B$ 的路径的量子电路，系统 $A$ 不能影响系统 $B$。相反，给定一个从输入 $A$ 到输出 $B$ 没有影响关系的酉 $U$，它遵循 [B. Schumacher 和 MD Westmoreland, Quantum Information Processing 4 no. 1，（2005 年 2 月）] 存在 $U$ 的电路分解，没有从 $A$ 到 $B$ 的路径。然而，正如我们所争论的，有些酉不存在使所有因果约束明显的电路分解$\textit{simultaneously}$。为了解决这个问题，我们引入了一种新的“扩展电路图”形式，它超越了量子电路所能表达的内容，其核心新特征是除了序列和张量乘积组合外还能够表示直接和结构。一个 $\textit{因果忠实}$ 扩展电路分解，代表一个单一的 $U$，那么当且仅当实际上存在从输入 $A$ 到输出 $B$ 的路径时$A$ 到 $B$ 以 $U$ 表示。我们推导出一大类幺正的因果忠实扩展电路分解，其中在每种情况下，分解都隐含在酉各自的因果结构中。我们假设每个有限维幺正变换都有一个因果忠实的扩展电路分解。这超出了量子电路所能表达的范围，其核心新功能是能够表示除顺序和张量乘积组合之外的直接和结构。一个 $\textit{因果忠实}$ 扩展电路分解，代表一个单一的 $U$，那么当且仅当实际上存在从输入 $A$ 到输出 $B$ 的路径时$A$ 到 $B$ 以 $U$ 表示。我们推导出一大类幺正的因果忠实扩展电路分解，其中在每种情况下，分解都隐含在酉各自的因果结构中。我们假设每个有限维幺正变换都有一个因果忠实的扩展电路分解。这超出了量子电路所能表达的范围，其核心新功能是能够表示除顺序和张量乘积组合之外的直接和结构。一个 $\textit{因果忠实}$ 扩展电路分解，代表一个单一的 $U$，那么当且仅当实际上存在从输入 $A$ 到输出 $B$ 的路径时， $A$ 到 $B$ 以 $U$ 表示。我们推导出一大类幺正的因果忠实扩展电路分解，其中在每种情况下，分解都隐含在酉各自的因果结构中。我们假设每个有限维幺正变换都有一个因果忠实的扩展电路分解。除了序列和张量乘积组合外，核心新功能还能够表示直接和结构。一个 $\textit{因果忠实}$ 扩展电路分解，代表一个单一的 $U$，那么当且仅当实际上存在从输入 $A$ 到输出 $B$ 的路径时， $A$ 到 $B$ 以 $U$ 表示。我们推导出一大类幺正的因果忠实扩展电路分解，其中在每种情况下，分解都隐含在酉各自的因果结构中。我们假设每个有限维幺正变换都有一个因果忠实的扩展电路分解。除了序列和张量乘积组合外，核心新功能还能够表示直接和结构。一个 $\textit{因果忠实}$ 扩展电路分解，代表一个单一的 $U$，那么当且仅当实际上存在从输入 $A$ 到输出 $B$ 的路径时$A$ 到 $B$ 以 $U$ 表示。我们推导出一大类幺正的因果忠实扩展电路分解，其中在每种情况下，分解都隐含在酉各自的因果结构中。我们假设每个有限维幺正变换都有一个因果忠实的扩展电路分解。那么当且仅当在 $U$ 中确实存在从 $A$ 到 $B$ 的影响时，存在从输入 $A$ 到输出 $B$ 的路径。我们推导出一大类幺正的因果忠实扩展电路分解，其中在每种情况下，分解都隐含在酉各自的因果结构中。我们假设每个有限维幺正变换都有一个因果忠实的扩展电路分解。那么当且仅当在 $U$ 中确实存在从 $A$ 到 $B$ 的影响时，存在从输入 $A$ 到输出 $B$ 的路径。我们推导出一大类幺正的因果忠实扩展电路分解，其中在每种情况下，分解都隐含在酉各自的因果结构中。我们假设每个有限维幺正变换都有一个因果忠实的扩展电路分解。