Weighted automata are a generalization of nondeterministic automata that associate a weight drawn from a semiring $K$ with every transition and every state. Their behaviours can be formalized either as weighted language equivalence or weighted bisimulation. In this paper we explore the properties of weighted automata in the framework of coalgebras over (i) the category $\mathsf{SMod}$ of semimodules over a semiring $K$ and $K$-linear maps, and (ii) the category $\mathsf{Set}$ of sets and maps. We show that the behavioural equivalences defined by the corresponding final coalgebras in these two cases characterize weighted language equivalence and weighted bisimulation, respectively. These results extend earlier work by Bonchi et al. using the category $\mathsf{Vect}$ of vector spaces and linear maps as the underlying model for weighted automata with weights drawn from a field $K$. The key step in our work is generalizing the notions of linear relations and linear bisimulations of Boreale from vector spaces to semimodules using the concept of the kernel of a $K$-linear map in the sense of universal algebra. We also provide an abstract procedure for forward partition refinement for computing weighted language equivalence. Since for weighted automata defined over semirings the problem is undecidable in general, it is guaranteed to halt only in special cases. Although the results are similar to those of Bonchi et al, many of our proofs are new, especially for the coalgebra in $\mathsf{SMod}$ characterizing weighted language equivalence.

中文翻译：

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半环上加权自动机互模拟的代数

加权自动机是非确定性自动机的推广，它将从半环 $K$ 中提取的权重与每个转换和每个状态相关联。他们的行为可以被形式化为加权语言对等或加权互模拟。在本文中，我们探讨了加代数框架中加权自动机的性质：（i）半环 $K$ 和 $K$-线性映射上半模的范畴 $\mathsf{SMod}$，以及（ii）范畴$\mathsf{Set}$ 的集合和映射。我们表明，在这两种情况下由相应的最终余代数定义的行为等价分别表征了加权语言等价和加权互模拟。这些结果扩展了 Bonchi 等人的早期工作。使用向量空间和线性映射的类别 $\mathsf{Vect}$ 作为加权自动机的基础模型，权重从字段 $K$ 中提取。我们工作中的关键步骤是使用通用代数意义上的 $K$-线性映射的核概念将 Boreale 的线性关系和线性互模拟的概念从向量空间推广到半模。我们还提供了一个用于计算加权语言等价的前向分区细化的抽象过程。因为对于定义在半环上的加权自动机，问题通常是不可判定的，所以它保证只在特殊情况下停止。尽管结果与 Bonchi 等人的结果相似，但我们的许多证明都是新的，特别是对于表征加权语言等价性的 $\mathsf{SMod}$ 中的余代数。我们工作中的关键步骤是使用通用代数意义上的 $K$-线性映射的核概念将 Boreale 的线性关系和线性互模拟的概念从向量空间推广到半模。我们还提供了一个用于计算加权语言等价的前向分区细化的抽象过程。因为对于定义在半环上的加权自动机，问题通常是不可判定的，所以它保证只在特殊情况下停止。尽管结果与 Bonchi 等人的结果相似，但我们的许多证明都是新的，特别是对于表征加权语言等价性的 $\mathsf{SMod}$ 中的余代数。我们工作中的关键步骤是使用通用代数意义上的 $K$-线性映射的核概念将 Boreale 的线性关系和线性互模拟的概念从向量空间推广到半模。我们还提供了一个用于计算加权语言等价的前向分区细化的抽象过程。因为对于定义在半环上的加权自动机，问题通常是不可判定的，所以它保证只在特殊情况下停止。尽管结果与 Bonchi 等人的结果相似，但我们的许多证明都是新的，特别是对于表征加权语言等价性的 $\mathsf{SMod}$ 中的余代数。