We study the computational complexity of two hard problems on determinantal point processes (DPPs). One is maximum a posteriori (MAP) inference, i.e., to find a principal submatrix having the maximum determinant. The other is probabilistic inference on exponentiated DPPs (E-DPPs), which can sharpen or weaken the diversity preference of DPPs with an exponent parameter $p$. We prove the following complexity-theoretic hardness results that explain the difficulty in approximating MAP inference and the normalizing constant for E-DPPs. 1. Unconstrained MAP inference for an $n \times n$ matrix is NP-hard to approximate within a factor of $2^{\beta n}$, where $\beta = 10^{-10^{13}} $. This result improves upon a $(\frac{9}{8}-\epsilon)$-factor inapproximability given by Kulesza and Taskar (2012). 2. Log-determinant maximization is NP-hard to approximate within a factor of $\frac{5}{4}$ for the unconstrained case and within a factor of $1+10^{-10^{13}}$ for the size-constrained monotone case. 3. The normalizing constant for E-DPPs of any (fixed) constant exponent $p \geq \beta^{-1} = 10^{10^{13}}$ is NP-hard to approximate within a factor of $2^{\beta pn}$. This gives a(nother) negative answer to open questions posed by Kulesza and Taskar (2012); Ohsaka and Matsuoka (2020).

中文翻译：

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MAP 推理和取幂行列式点过程的一些不可逼近性结果

我们研究了关于行列式点过程 (DPP) 的两个难题的计算复杂性。一种是最大后验（MAP）推理，即找到具有最大行列式的主子矩阵。另一种是对指数 DPP（E-DPP）的概率推理，它可以通过指数参数 $p$ 来锐化或削弱 DPP 的多样性偏好。我们证明了以下复杂性理论硬度结果，这些结果解释了近似 MAP 推理和 E-DPP 归一化常数的困难。1. $n \times n$ 矩阵的无约束 MAP 推理在 $2^{\beta n}$ 的因子内是 NP 难以近似的，其中 $\beta = 10^{-10^{13}} $。这个结果改进了 Kulesza 和 Taskar (2012) 给出的 $(\frac{9}{8}-\epsilon)$-factor inapproximability。2. 对数行列式最大化是 NP-难以在无约束情况下在 $\frac{5}{4}$ 的因子内以及对于大小在 $1+10^{-10^{13}}$ 的因子内逼近 -受约束的单调情况。3. 任何（固定）常数指数 $p \geq \beta^{-1} = 10^{10^{13}}$ 的 E-DPP 的归一化常数是 NP 难以在因子 $2^ 内近似的{\beta pn}$。这对 Kulesza 和 Taskar (2012) 提出的开放性问题给出了（另一个）否定答案；大坂和松冈 (2020)。这对 Kulesza 和 Taskar (2012) 提出的开放性问题给出了（另一个）否定答案；大坂和松冈 (2020)。这对 Kulesza 和 Taskar (2012) 提出的开放性问题给出了（另一个）否定答案；大坂和松冈 (2020)。