We characterize under what conditions $n\times n$ Hermitian matrices $A_1$ and $A_2$ have the property that the spectrum of $\cos t{A}_1+\sin t{A}_2$ is independent of t (thus, the trigonometric pencil $\cos t{A}_1+\sin t{A}_2$ is isospectral). One of the characterizations requires the first $\lceil \frac{n}{2}\rceil$ higher rank numerical ranges of the matrix $A_1+i{A}_2$ to be circular disks with center 0. Finding the unitary similarity between $\cos t{A}_1+\sin t{A}_2$ and, say, $A_1$ involves finding a solution to Lax's equation.

中文翻译：

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同心圆高阶数值范围等谱和矩阵

我们在什么条件下表征 $n\times n$ 厄米矩阵 ${\mathrm{一种}}_1$ 和 ${\mathrm{一种}}_2$ 具有频谱的性质 $\cos 吨{\mathrm{一种}}_1+\mathrm{罪}吨{\mathrm{一种}}_2$与t无关（因此，三角铅笔$\cos 吨{\mathrm{一种}}_1+\mathrm{罪}吨{\mathrm{一种}}_2$是等谱的）。其中一个特征需要第一个$\lceil \frac{n}{2}\rceil$ 矩阵的高阶数值范围 ${\mathrm{一种}}_1+\mathrm{一世}{\mathrm{一种}}_2$ 是中心为 0 的圆盘。 $\cos 吨{\mathrm{一种}}_1+\mathrm{罪}吨{\mathrm{一种}}_2$ 并且说， ${\mathrm{一种}}_1$ 涉及找到 Lax 方程的解。