We consider compactifications of rank $Q$ E-string theory on a genus zero surface with no punctures but with flux for various subgroups of the $\mathrm{E}_8\times \mathrm{SU}(2)$ global symmetry group of the six dimensional theory. We first construct a simple Wess--Zumino model in four dimensions corresponding to the compactification on a sphere with one puncture and a particular value of flux, the cap model. Using this theory and theories corresponding to two punctured spheres with flux, one can obtain a large number of models corresponding to spheres with a variety of fluxes. These models exhibit interesting IR enhancements of global symmetry as well as duality properties. As an example we will show that constructing sphere models associated to specific fluxes related by an action of the Weyl group of $\mathrm{E}_8$ leads to the S-confinement duality of the $\mathrm{USp}(2Q)$ gauge theory with six fundamentals and a traceless antisymmetric field. Finally, we show that the theories we discuss possess an $\mathrm{SU}(2)_{\text{ISO}}$ symmetry in four dimensions that can be naturally identified with the isometry of the two-sphere. We give evidence in favor of this identification by computing the `t Hooft anomalies of the $\mathrm{SU}(2)_{\text{ISO}}$ in 4d and comparing them with the predicted anomalies from 6d.

中文翻译：

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在有通量的球体上排列 $Q$ E-string

我们考虑在没有穿孔但具有通量的 0 属零表面上的秩 $Q$ E 弦理论的紧缩化，用于 $\mathrm{E}_8\times \mathrm{SU}(2)$ 全局对称群六维理论。我们首先在四个维度上构建了一个简单的 Wess--Zumino 模型，对应于一个球体上的紧致化，该球体具有一个穿孔和一个特定的通量值，即帽模型。使用这一理论和对应于具有通量的两个穿孔球体的理论，可以得到大量对应于具有多种通量的球体的模型。这些模型展示了有趣的全局对称性和二元性的红外增强。作为一个例子，我们将展示构建与由 $\mathrm{E}_8$ 的 Weyl 群的作用相关的特定通量相关的球体模型导致 $\mathrm{USp}(2Q)$ 的 S 限制对偶性具有六个基本原理和无迹反对称场的规范理论。最后，我们表明我们讨论的理论在四个维度上具有 $\mathrm{SU}(2)_{\text{ISO}}$ 对称性，可以自然地与两个球体的等距相一致。我们通过计算 4d 中 $\mathrm{SU}(2)_{\text{ISO}}$ 的 `t Hooft 异常并将它们与 6d 的预测异常进行比较来提供支持这种识别的证据。我们表明我们讨论的理论在四个维度上具有 $\mathrm{SU}(2)_{\text{ISO}}$ 对称性，可以自然地与两个球体的等距相一致。我们通过计算 4d 中 $\mathrm{SU}(2)_{\text{ISO}}$ 的 `t Hooft 异常并将它们与 6d 的预测异常进行比较来提供支持这种识别的证据。我们表明我们讨论的理论在四个维度上具有 $\mathrm{SU}(2)_{\text{ISO}}$ 对称性，可以自然地与两个球体的等距相一致。我们通过计算 4d 中 $\mathrm{SU}(2)_{\text{ISO}}$ 的 `t Hooft 异常并将它们与 6d 的预测异常进行比较来提供支持这种识别的证据。