We study sparsity constrained nonlinear optimization (SCNO) from a topological point of view. Special focus will be on M-stationary points from Burdakov et al. (SIAM J Optim 26:397–425, 2016), also introduced as \(N^C\)-stationary points in Pan et al. (J Oper Res Soc China 3:421–439, 2015). We introduce nondegenerate M-stationary points and define their M-index. We show that all M-stationary points are generically nondegenerate. In particular, the sparsity constraint is active at all local minimizers of a generic SCNO. Some relations to other stationarity concepts, such as S-stationarity, basic feasibility, and CW-minimality, are discussed in detail. By doing so, the issues of instability and degeneracy of points due to different stationarity concepts are highlighted. The concept of M-stationarity allows to adequately describe the global structure of SCNO along the lines of Morse theory. For that, we study topological changes of lower level sets while passing an M-stationary point. As novelty for SCNO, multiple cells of dimension equal to the M-index are needed to be attached. This intriguing fact is in strong contrast with other optimization problems considered before, where just one cell suffices. As a consequence, we derive a Morse relation for SCNO, which relates the numbers of local minimizers and M-stationary points of M-index equal to one. The appearance of such saddle points cannot be thus neglected from the perspective of global optimization. Due to the multiplicity phenomenon in cell-attachment, a saddle point may lead to more than two different local minimizers. We conclude that the relatively involved structure of saddle points is the source of well-known difficulty if solving SCNO to global optimality.

我们从拓扑的角度研究稀疏约束非线性优化 (SCNO)。特别关注 Burdakov 等人的 M 平稳点。(SIAM J Optim 26:397–425, 2016)，也作为\(N^C\)- Pan等人的静止点。(J Oper Res Soc China 3:421–439, 2015)。我们引入非退化的 M 平稳点并定义它们的 M 指数。我们证明所有 M 平稳点一般都是非退化的。特别是，稀疏约束在通用 SCNO 的所有局部最小化器上都有效。详细讨论了与其他平稳性概念的一些关系，例如 S 平稳性、基本可行性和 CW 极小性。通过这样做，突出了由于不同平稳性概念而导致的点的不稳定和退化问题。M-平稳性的概念允许沿着莫尔斯理论的路线充分描述 SCNO 的全局结构。为此，我们在通过 M 平稳点时研究了低层集的拓扑变化。作为 SCNO 的新奇事物，需要附加多个维度等于 M-index 的单元格。这一有趣的事实与之前考虑的其他优化问题形成了强烈对比，其中一个单元就足够了。因此，我们推导出 SCNO 的莫尔斯关系，该关系将局部极小值的数量和 M 指数的 M 平稳点的数量关联为 1。因此，从全局优化的角度来看，这种鞍点的出现是不可忽视的。由于细胞附着中的多重现象，鞍点可能导致两个以上不同的局部极小值。我们得出结论，如果将 SCNO 求解为全局最优，鞍点的相对复杂结构是众所周知的困难的根源。一个单元格就足够了。因此，我们推导出 SCNO 的莫尔斯关系，该关系将局部极小值的数量和 M 指数的 M 平稳点的数量关联为 1。因此，从全局优化的角度来看，这种鞍点的出现是不可忽视的。由于细胞附着中的多重现象，鞍点可能导致两个以上不同的局部极小值。我们得出的结论是，如果将 SCNO 求解为全局最优，鞍点的相对复杂结构是众所周知的困难的根源。一个单元格就足够了。因此，我们推导出 SCNO 的莫尔斯关系，该关系将局部极小值的数量和 M 指数的 M 平稳点的数量关联为 1。因此，从全局优化的角度来看，这种鞍点的出现是不可忽视的。由于细胞附着中的多重现象，鞍点可能导致两个以上不同的局部极小值。我们得出结论，如果将 SCNO 求解为全局最优，鞍点的相对复杂结构是众所周知的困难的根源。由于细胞附着中的多重现象，鞍点可能导致两个以上不同的局部极小值。我们得出的结论是，如果将 SCNO 求解为全局最优，鞍点的相对复杂结构是众所周知的困难的根源。由于细胞附着中的多重现象，鞍点可能导致两个以上不同的局部极小值。我们得出的结论是，如果将 SCNO 求解为全局最优，鞍点的相对复杂结构是众所周知的困难的根源。