Let $\mathcal{A}$ be a unital complex semisimple Banach algebra, and $M_{\mathcal{A}}$ denote its maximal ideal space. For a matrix $M\in {\mathcal{A}}^{n\times n}$, $\hat{M}$ denotes the matrix obtained by taking entry-wise Gelfand transforms. For a matrix $M\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$, $\sigma (M)\subset \mathbb{C}$ denotes the set of eigenvalues of M. It is shown that if $A\in {\mathcal{A}}^{n\times n}$ and $B\in {\mathcal{A}}^{m\times m}$ are such that for all $\phi \in M_{\mathcal{A}}$, $\sigma (\hat{A}(\phi ))\cap \sigma (\hat{B}(\phi ))=\varnothing$, then for all $C\in {\mathcal{A}}^{n\times m}$, the Sylvester equation $AX-XB=C$ has a unique solution $X\in {\mathcal{A}}^{n\times m}$. As an application, Roth's removal rule is proved in the context of matrices over a Banach algebra.

中文翻译：

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Banach 代数中的 Sylvester 方程

让 $\mathcal{一种}$ 是一个单位复数半单 Banach 代数，并且 ${米}_{\mathcal{一种}}$表示其最大理想空间。对于矩阵$米\in {\mathcal{一种}}^{n\times n}$, $\widehat{米}$表示通过采用逐项 Gelfand 变换获得的矩阵。对于矩阵$米\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$, $\sigma (米)\subset \mathbb{C}$表示M的特征值集。表明如果$\mathrm{一种}\in {\mathcal{一种}}^{n\times n}$ 和 $乙\in {\mathcal{一种}}^{米\times 米}$ 对所有人来说都是这样 $\phi \in {米}_{\mathcal{一种}}$, $\sigma (\widehat{\mathrm{一种}}(\phi ))\cap \sigma (\widehat{乙}(\phi ))=\varnothing$，那么对于所有 $C\in {\mathcal{一种}}^{n\times 米}$，西尔维斯特方程 $\mathrm{一种}X-X乙=C$ 有一个独特的解决方案 $X\in {\mathcal{一种}}^{n\times 米}$. 作为应用，Roth 去除规则在 Banach 代数上的矩阵上下文中得到证明。