Spatial segregation occurs in population dynamics when $k$ species interact in a highly competitive way. As a model for the study of this phenomenon, we consider the competition-diffusion system of $k$ differential equations $$ -\Delta u_i(x)=-\mu u_i (x)\sum_{j\neq i} u_j (x), \quad i=1,\ldots,k $$ in a domain $D$ with appropriate boundary conditions. Any $u_i$ represents a population density and the parameter $\mu$ determines the interaction strength between the populations. The purpose of this paper is to study the geometry of the limiting configuration as $\mu\rightarrow+\infty$ on a planar domain for any number of species. If $k$ is even we show that some limiting configurations are strictly connected to the solution of a Dirichlet problem for the Laplace equation.

中文翻译：

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关于在强竞争系统中分离 $k$ 物种的一些评论

当 $k$ 物种以高度竞争的方式相互作用时，空间隔离就会发生在种群动态中。作为研究这种现象的模型，我们考虑了 $k$ 微分方程的竞争扩散系统 $$ -\Delta u_i(x)=-\mu u_i (x)\sum_{j\neq i} u_j ( x), \quad i=1,\ldots,k $$ 在具有适当边界条件的域 $D$ 中。任何 $u_i$ 代表人口密度，参数 $\mu$ 决定人口之间的相互作用强度。本文的目的是研究任意数量物种在平面域上作为 $\mu\rightarrow+\infty$ 的极限配置的几何形状。如果 $k$ 是偶数，我们将证明一些限制配置与拉普拉斯方程的狄利克雷问题的解是严格相关的。