We study the complexity of the decision problem known as Permutation Pattern Matching, or PPM. The input of PPM consists of a pair of permutations $\tau$ (the `text') and $\pi$ (the `pattern'), and the goal is to decide whether $\tau$ contains $\pi$ as a subpermutation. On general inputs, PPM is known to be NP-complete by a result of Bose, Buss and Lubiw. In this paper, we focus on restricted instances of PPM where the text is assumed to avoid a fixed (small) pattern $\sigma$; this restriction is known as Av($\sigma$)-PPM. It has been previously shown that Av($\sigma$)-PPM is polynomial for any $\sigma$ of size at most 3, while it is NP-hard for any $\sigma$ containing a monotone subsequence of length four. In this paper, we present a new hardness reduction which allows us to show, in a uniform way, that Av($\sigma$)-PPM is hard for every $\sigma$ of size at least 6, for every $\sigma$ of size 5 except the symmetry class of $41352$, as well as for every $\sigma$ symmetric to one of the three permutations $4321$, $4312$ and $4213$. Moreover, assuming the exponential time hypothesis, none of these hard cases of Av($\sigma$)-PPM can be solved in time $2^{o(n/\log n)}$. Previously, such conditional lower bound was not known even for the unconstrained PPM problem. On the tractability side, we combine the CSP approach of Guillemot and Marx with the structural results of Huczynska and Vatter to show that for any monotone-griddable permutation class C, PPM is polynomial when the text is restricted to a permutation from C.

中文翻译：

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排列的网格和模式匹配的硬度

我们研究称为置换模式匹配或 PPM 的决策问题的复杂性。PPM 的输入由一对排列 $\tau$（`text'）和 $\pi$（`pattern'）组成，目标是决定 $\tau$ 是否包含 $\pi$ 作为一个次排列。在一般输入上，根据 Bose、Buss 和 Lubiw 的结果，已知 PPM 是 NP 完全的。在本文中，我们关注 PPM 的受限实例，其中假设文本避免固定（小）模式 $\sigma$；此限制称为 Av($\sigma$)-PPM。先前已经表明，对于任何大小最多为 3 的 $\sigma$，Av($\sigma$)-PPM 是多项式，而对于任何包含长度为 4 的单调子序列的 $\sigma$ 来说，它是 NP-hard 的。在本文中，我们提出了一种新的硬度降低方法，它使我们能够以统一的方式显示，Av($\sigma$)-PPM 对于每个大小至少为 6 的 $\sigma$、对于每个大小为 5 的 $\sigma$ 都是困难的，除了 $41352$ 的对称类，以及对于每个 $\sigma$与 $4321$、$4312$ 和 $4213$ 三个排列之一对称。此外，假设指数时间假设，这些 Av($\sigma$)-PPM 的困难情况都不能在 $2^{o(n/\log n)}$ 时间内解决。以前，即使对于无约束 PPM 问题，这种条件下限也是未知的。在易处理性方面，我们将 Guillemot 和 Marx 的 CSP 方法与 Huczynska 和 Vatter 的结构结果相结合，以表明对于任何单调可网格置换类 C，当文​​本仅限于 C 的置换时，PPM 是多项式。以及每个 $\sigma$ 对称于三个排列 $4321$、$4312$ 和 $4213$ 之一。此外，假设指数时间假设，这些 Av($\sigma$)-PPM 的困难情况都不能在 $2^{o(n/\log n)}$ 时间内解决。以前，即使对于无约束 PPM 问题，这种条件下限也是未知的。在易处理性方面，我们将 Guillemot 和 Marx 的 CSP 方法与 Huczynska 和 Vatter 的结构结果相结合，以表明对于任何单调可网格置换类 C，当文​​本仅限于 C 的置换时，PPM 是多项式。以及每个 $\sigma$ 对称于三个排列 $4321$、$4312$ 和 $4213$ 之一。此外，假设指数时间假设，这些 Av($\sigma$)-PPM 的困难情况都不能在 $2^{o(n/\log n)}$ 时间内解决。以前，即使对于无约束 PPM 问题，这种条件下限也是未知的。在易处理性方面，我们将 Guillemot 和 Marx 的 CSP 方法与 Huczynska 和 Vatter 的结构结果相结合，以表明对于任何单调可网格置换类 C，当文​​本仅限于 C 的置换时，PPM 是多项式。即使对于无约束 PPM 问题，这种条件下限也是未知的。在易处理性方面，我们将 Guillemot 和 Marx 的 CSP 方法与 Huczynska 和 Vatter 的结构结果相结合，以表明对于任何单调可网格置换类 C，当文​​本仅限于 C 的置换时，PPM 是多项式。即使对于无约束 PPM 问题，这种条件下限也是未知的。在易处理性方面，我们将 Guillemot 和 Marx 的 CSP 方法与 Huczynska 和 Vatter 的结构结果相结合，以表明对于任何单调可网格置换类 C，当文​​本仅限于 C 的置换时，PPM 是多项式。