This paper presents a unified computational framework for the estimation of distances, geodesics and barycenters of merge trees. We extend recent work on the edit distance [106] and introduce a new metric, called the Wasserstein distance between merge trees, which is purposely designed to enable efficient computations of geodesics and barycenters. Specifically, our new distance is strictly equivalent to the L2-Wasserstein distance between extremum persistence diagrams, but it is restricted to a smaller solution space, namely, the space of rooted partial isomorphisms between branch decomposition trees. This enables a simple extension of existing optimization frameworks [112] for geodesics and barycenters from persistence diagrams to merge trees. We introduce a task-based algorithm which can be generically applied to distance, geodesic, barycenter or cluster computation. The task-based nature of our approach enables further accelerations with shared-memory parallelism. Extensive experiments on public ensembles and SciVis contest benchmarks demonstrate the efficiency of our approach -- with barycenter computations in the orders of minutes for the largest examples -- as well as its qualitative ability to generate representative barycenter merge trees, visually summarizing the features of interest found in the ensemble. We show the utility of our contributions with dedicated visualization applications: feature tracking, temporal reduction and ensemble clustering. We provide a lightweight C++ implementation that can be used to reproduce our results.

中文翻译：

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合并树的 Wasserstein 距离、测地线和重心

本文提出了一个统一的计算框架，用于估计合并树的距离、测地线和重心。我们扩展了最近在编辑距离上的工作 [106] 并引入了一个新的度量标准，称为合并树之间的 Wasserstein 距离，它专门设计用于实现测地线和重心的高效计算。具体来说，我们的新距离严格等同于极值持久图之间的 L2-Wasserstein 距离，但它仅限于较小的解空间，即分支分解树之间的有根部分同构空间。这使得测地线和重心的现有优化框架 [112] 从持久图到合并树的简单扩展成为可能。我们介绍了一种基于任务的算法，该算法可普遍应用于距离、测地线、重心或簇计算。我们方法的基于任务的性质可以通过共享内存并行性进一步加速。对公共集成和 SciVis 竞赛基准的大量实验证明了我们方法的效率——对于最大的例子，重心计算在几分钟的数量级——以及它生成代表性重心合并树的定性能力，直观地总结了感兴趣的特征在合奏中发现。我们展示了我们在专用可视化应用程序中所做贡献的效用：特征跟踪、时间减少和集成聚类。我们提供了一个轻量级的 C++ 实现，可用于重现我们的结果。对公共集成和 SciVis 竞赛基准的大量实验证明了我们方法的效率——对于最大的例子，重心计算在几分钟的数量级——以及它生成代表性重心合并树的定性能力，直观地总结了感兴趣的特征在合奏中发现。我们展示了我们在专用可视化应用程序中所做贡献的效用：特征跟踪、时间减少和集成聚类。我们提供了一个轻量级的 C++ 实现，可用于重现我们的结果。对公共集成和 SciVis 竞赛基准的大量实验证明了我们方法的效率——对于最大的例子，重心计算在几分钟的数量级——以及它生成代表性重心合并树的定性能力，直观地总结了感兴趣的特征在合奏中发现。我们展示了我们在专用可视化应用程序中所做贡献的效用：特征跟踪、时间减少和集成聚类。我们提供了一个轻量级的 C++ 实现，可用于重现我们的结果。直观地总结在集成中发现的感兴趣的特征。我们展示了我们在专用可视化应用程序中所做贡献的效用：特征跟踪、时间减少和集成聚类。我们提供了一个轻量级的 C++ 实现，可用于重现我们的结果。直观地总结在集成中发现的感兴趣的特征。我们展示了我们在专用可视化应用程序中所做贡献的效用：特征跟踪、时间减少和集成聚类。我们提供了一个轻量级的 C++ 实现，可用于重现我们的结果。