In this paper, we study quadratic points on the non-split Cartan modular curves $X_{ns}(p)$, for $p=7,11,$ and $13$. Recently, Siksek proved that all quadratic points on $X_{ns}(7)$ arise as pullbacks of rational points on $X_{ns}^{+}(7)$. Using similar techniques for $p=11$, and employing a version of Chabauty for symmetric powers of curves for $p=13$, we show that the same holds for $X_{ns}(11)$ and $X_{ns}(13)$. As a consequence, we prove that certain classes of elliptic curves over quadratic fields are modular.

中文翻译：

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非分裂 Cartan 模曲线上的二次点

在本文中，我们研究了非分裂 Cartan 模曲线上的二次点 $X_{n秒}(磷)$， 为了 $磷=7,11,$ 和 $13$. 最近，Siksek 证明了上的所有二次点$X_{n秒}(7)$ 作为理性点的回调出现 $X_{n秒}^{+}(7)$. 使用类似的技术$磷=11$，并使用 Chabauty 的一个版本来计算曲线的对称幂 $磷=13$，我们证明同样适用于 $X_{n秒}(11)$ 和 $X_{n秒}(13)$. 因此，我们证明了二次域上某些类别的椭圆曲线是模的。