Let $c_{k,j}(n)$ be the number of $(k,j)$-colored partitions of $n$. Recently, Keith proved that for $j\in \{4,7\}$, if $c_{9,j}(3^{l}n+2)\equiv 0(mod27)$ for all $n\ge 0$, then $l$ is large. We prove that such $l$ do not exist. Furthermore, for any positive integers $a,b$ with $(a,b)=1$, there exist infinitely many positive integers $n$ such that $c_{9,j}(an+b)\not\equiv 0(mod27)$, where $j\in \{4,7\}$.

中文翻译：

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关于受限k色分区的问题

让 $C_{克,j}(n)$ 是数量 $(克,j)$-彩色分区 $n$. 最近，Keith 证明了对于$j\in \{4,7\}$， 如果 $C_{9,j}(3^{升}n+2)\equiv 0(模组27)$ 对所有人 $n\ge 0$， 然后 $升$很大。我们证明这样的$升$不存在。此外，对于任何正整数$\mathrm{一种},乙$ 和 $(\mathrm{一种},乙)=1$，存在无穷多个正整数 $n$ 以至于 $C_{9,j}(\mathrm{一种}n+乙)\not\equiv 0(模组27)$， 在哪里 $j\in \{4,7\}$.