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Adaptive multilevel trust-region methods for time-dependent PDE-constrained optimization
Portugaliae Mathematica ( IF 0.8 ) Pub Date : 2017-01-01 , DOI: 10.4171/pm/1992
Stefan Ulbrich , Jan Carsten Ziems

We present a class of adaptive multilevel trust-region methods for the efficient solution of optimization problems governed by time–dependent nonlinear partial differential equations with control constraints. The algorithm is based on the ideas of the adaptive multilevel inexact SQP-method from [26, 27]. It is in particular well suited for problems with time–dependent PDE constraints. Instead of the quasi-normal step in a classical SQP method which results in solving the linearized PDE sufficiently well, in this algorithm a (nonlinear) solver is applied to the current discretization of the PDE. Moreover, different discretizations and solvers for the PDE and the adjoint PDE may be applied. The resulting inexactness of the reduced gradient in the current discretization is controlled within the algorithm. Thus, highly efficient PDE solvers can be coupled with the proposed optimization framework. The algorithm starts with a coarse discretization of the underlying optimization problem and provides during the optimization process implementable criteria for an adaptive refinement strategy of the current discretization based on error estimators. We prove global convergence to a stationary point of the infinitedimensional problem. Moreover, we illustrate how the adaptive refinement strategy of the algorithm can be implemented by using a posteriori error estimators for the state and the adjoint equation. Numerical results for a semilinear parabolic PDE–constrained problem with pointwise control constraints are presented. Mathematics Subject Classification (2010). 90C55 49M05 49M25 49M37

中文翻译:

用于时间相关 PDE 约束优化的自适应多级信任域方法

我们提出了一类自适应多级信任域方法,用于有效解决由具有控制约束的时间相关非线性偏微分方程控制的优化问题。该算法基于 [26, 27] 中自适应多级不精确 SQP 方法的思想。它特别适用于具有时间相关 PDE 约束的问题。与经典 SQP 方法中的准正态步骤不同,后者可以很好地求解线性化 PDE,在该算法中,将(非线性)求解器应用于 PDE 的当前离散化。此外,可以应用 PDE 和伴随 PDE 的不同离散化和求解器。当前离散化中减小的梯度的由此产生的不精确性在算法内被控制。因此,高效的 PDE 求解器可以与建议的优化框架结合使用。该算法从底层优化问题的粗离散化开始,并在优化过程中为基于误差估计器的当前离散化的自适应细化策略提供可实施的标准。我们证明全局收敛到无限维问题的一个驻点。此外,我们说明了如何通过使用状态和伴随方程的后验误差估计来实现算法的自适应细化策略。给出了具有逐点控制约束的半线性抛物线偏微分方程约束问题的数值结果。数学学科分类(2010)。90C55 49M05 49M25 49M37 该算法从底层优化问题的粗离散化开始,并在优化过程中为基于误差估计器的当前离散化的自适应细化策略提供可实施的标准。我们证明全局收敛到无限维问题的一个驻点。此外,我们说明了如何通过使用状态和伴随方程的后验误差估计来实现算法的自适应细化策略。给出了具有逐点控制约束的半线性抛物线偏微分方程约束问题的数值结果。数学学科分类(2010)。90C55 49M05 49M25 49M37 该算法从底层优化问题的粗离散化开始,并在优化过程中为基于误差估计器的当前离散化的自适应细化策略提供可实施的标准。我们证明全局收敛到无限维问题的一个驻点。此外,我们说明了如何通过使用状态和伴随方程的后验误差估计来实现算法的自适应细化策略。给出了具有逐点控制约束的半线性抛物线偏微分方程约束问题的数值结果。数学学科分类(2010)。90C55 49M05 49M25 49M37 我们说明了如何通过使用状态和伴随方程的后验误差估计量来实现算法的自适应细化策略。给出了具有逐点控制约束的半线性抛物线偏微分方程约束问题的数值结果。数学学科分类(2010)。90C55 49M05 49M25 49M37 我们说明了如何通过使用状态和伴随方程的后验误差估计量来实现算法的自适应细化策略。给出了具有逐点控制约束的半线性抛物线偏微分方程约束问题的数值结果。数学学科分类(2010)。90C55 49M05 49M25 49M37
更新日期:2017-01-01
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