We continue our investigation of the modular graph functions and string invariants that arise at genus-two as coefficients of low energy effective interactions in Type II superstring theory. In previous work, the non-separating degeneration of a genus-two modular graph function of weight $w$ was shown to be given by a Laurent polynomial in the degeneration parameter $t$ of degree $(w,w)$. The coefficients of this polynomial generalize genus-one modular graph functions, up to terms which are exponentially suppressed in $t$ as $t \to \infty$. In this paper, we evaluate this expansion explicitly for the modular graph functions associated with the $D^8 {\cal R}^4$ effective interaction for which the Laurent polynomial has degree $(2,2)$. We also prove that the separating degeneration is given by a polynomial in the degeneration parameter $\ln (|v|)$ up to contributions which are power-behaved in $v$ as $v \to 0$. We further extract the complete, or tropical, degeneration and compare it with the independent calculation of the integrand of the sum of Feynman diagrams that contributes to two-loop type II supergravity expanded to the same order in the low energy expansion. We find that the tropical limit of the string theory integrand reproduces the supergravity integrand as its leading term, but also includes sub-leading terms proportional to odd zeta values that are absent in supergravity and can be ascribed to higher-derivative stringy interactions.

中文翻译：

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$D^8 \mathcal{R}^4$ 属二字符串不变量的渐近线

我们继续研究在第二类出现的模图函数和弦不变量作为 II 型超弦理论中低能量有效相互作用的系数。在以前的工作中，权重 $w$ 的属二模图函数的非分离退化被证明是由阶数 $(w,w)$ 的退化参数 $t$ 中的 Laurent 多项式给出的。这个多项式的系数概括了属一模图函数，直到在 $t$ 中被指数抑制为 $t \to \infty$ 的项。在本文中，我们明确评估了与 $D^8 {\cal R}^4$ 有效交互相关的模图函数的这种扩展，其中 Laurent 多项式的阶数为 $(2,2)$。我们还证明了分离退化由退化参数 $\ln (|v|)$ 中的多项式给出，直到在 $v$ 中的幂行为为 $v \to 0$ 的贡献。我们进一步提取了完整的或热带的退化，并将其与费曼图之和的被积函数的独立计算进行了比较，后者有助于在低能量膨胀中扩展到同一阶的双环 II 型超重力。我们发现弦理论被积函数的热带极限再现了超重力被积函数作为其主要项，但还包括与超重力中不存在的奇 zeta 值成正比的次主要项，可归因于更高导数的弦相互作用。退化并将其与费曼图和的被积函数的独立计算进行比较，该和的被积函数有助于在低能量扩展中扩展到同一阶的双环II型超重力。我们发现弦理论被积函数的热带极限再现了超重力被积函数作为其主要项，但还包括与超重力中不存在的奇 zeta 值成正比的次主要项，可归因于更高导数的弦相互作用。退化并将其与费曼图和的被积函数的独立计算进行比较，该和的被积函数有助于在低能量扩展中扩展到同一阶的双环II型超重力。我们发现弦理论被积函数的热带极限再现了超重力被积函数作为其主要项，但还包括与超重力中不存在的奇 zeta 值成正比的次主要项，可归因于更高导数的弦相互作用。