We conjecture a formula for the virtual elliptic genera of moduli spaces of rank 2 sheaves on minimal surfaces $S$ of general type. We express our conjecture in terms of the Igusa cusp form $\chi_{10}$ and Borcherds type lifts of three quasi-Jacobi forms which are all related to the Weierstrass elliptic function. We also conjecture that the generating function of virtual cobordism classes of these moduli spaces depends only on $\chi(\mathcal{O}_S)$ and $K_S^2$ via two universal functions, one of which is determined by the cobordism classes of Hilbert schemes of points on $K3$. We present generalizations of these conjectures, e.g. to arbitrary surfaces with $p_g>0$ and $b_1=0$. We use a result of J. Shen to express the virtual cobordism class in terms of descendent Donaldson invariants. In a prequel we used T. Mochizuki's formula, universality, and toric calculations to compute such Donaldson invariants in the setting of virtual $\chi_y$-genera. Similar techniques allow us to verify our new conjectures in many cases.

中文翻译：

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A 级 $2$ Dijkgraaf–Moore–Verlinde–Verlinde 公式

我们推测了一般类型最小表面$S$上的秩2滑轮模空间的虚拟椭圆属的公式。我们用 Igusa 尖点形式 $\chi_{10}$ 和三种准雅可比形式的 Borcherds 型提升来表达我们的猜想，这些都与 Weierstrass 椭圆函数有关。我们还推测这些模空间的虚协边类的生成函数仅依赖于 $\chi(\mathcal{O}_S)$ 和 $K_S^2$ 通过两个泛函数，其中一个由协边类决定$K3$ 上的希尔伯特积分方案。我们提出了这些猜想的一般化，例如对 $p_g>0$ 和 $b_1=0$ 的任意表面。我们使用 J. Shen 的结果根据后代 Donaldson 不变量来表达虚拟的协同类。在前传中，我们使用了望月太郎的公式，在虚拟 $\chi_y$-genera 的设置中计算这种唐纳森不变量的通用性和复曲面计算。类似的技术使我们能够在许多情况下验证我们的新猜想。