A slope $p/q$ is a characterizing slope for a knot $K$ in $S^3$ if the oriented homeomorphism type of $p/q$-surgery on $K$ determines $K$ uniquely. We show that for each torus knot its set of characterizing slopes contains all but finitely many non-integer slopes. This generalizes work of Ni and Zhang who established such a result for $T_{5,2}$. Along the way we show that if two knots $K$ and $K'$ in $S^3$ have homeomorphic $p/q$-surgeries, then for $q\geq 3$ and $p$ sufficiently large we can conclude that $K$ and $K'$ have the same genera and Alexander polynomials. This is achieved by consideration of the absolute grading on Heegaard Floer homology.

中文翻译：

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圆环结的非整数特征斜率

如果$K$ 上的$p/q$-surgery 的定向同胚类型唯一确定$K$，则斜率$p/q$ 是$S^3$ 中结$K$ 的特征斜率。我们表明，对于每个环面结，它的一组特征斜率包含除有限多个非整数斜率之外的所有斜率。这概括了 Ni 和 Zhang 的工作，他们为 $T_{5,2}$ 建立了这样的结果。一路上我们证明，如果 $S^3$ 中的两个结 $K$ 和 $K'$ 具有同构 $p/q$-surgeries，那么对于 $q\geq 3$ 和 $p$ 足够大，我们可以得出结论$K$ 和 $K'$ 具有相同的属和亚历山大多项式。这是通过考虑 Heegaard Floer 同源性的绝对分级来实现的。