We define an axiom schema $\mathsf{I}{\mathrm{\Delta }}_0\mathsf{S}$ for finite set theory with bounded induction on sets, analogous to the theory of bounded arithmetic, $\mathsf{I}{\mathrm{\Delta }}_0$, and use some of its basic model theory to establish some independence results for various axioms of set theory over $\mathsf{I}{\mathrm{\Delta }}_0\mathsf{S}$. Then we ask: given a model M of $\mathsf{I}{\mathrm{\Delta }}_0$, is there a model of $\mathsf{I}{\mathrm{\Delta }}_0\mathsf{S}$ whose ordinal arithmetic is isomorphic to M? We show that the answer is yes if $M\vDash \mathsf{Exp}$.

中文翻译：

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有界有限集理论

我们定义一个公理模式 $\mathsf{一世}{\mathrm{\Delta }}_0\mathsf{秒}$ 对于在集合上有界归纳的有限集合论，类似于有界算术理论， $\mathsf{一世}{\mathrm{\Delta }}_0$, 并利用它的一些基本模型理论建立了集合论的各种公理的一些独立性结果 $\mathsf{一世}{\mathrm{\Delta }}_0\mathsf{秒}$. 那么我们要问：给定一个模型中号的$\mathsf{一世}{\mathrm{\Delta }}_0$, 有没有模型 $\mathsf{一世}{\mathrm{\Delta }}_0\mathsf{秒}$谁的序数算术与M同构？我们证明答案是肯定的，如果$米\vDash \mathsf{经验值}$.