Abstract

A lattice polytope is free (or empty) if its vertices are the only lattice points it contains. In the context of valuation theory, Klain [ 16] proposed to study the functions $\alpha _i(P;n)$ that count the number of free polytopes in $nP$ with $i$ vertices. For $i=1$, this is the famous Ehrhart polynomial; for $i> 3$, the computation is likely impossible; and for $i=2,3$ it is computationally challenging.In this paper, we develop a theory of coprime Ehrhart functions that count lattice points with relatively prime coordinates and use it to compute $\alpha _2(P;n)$ for unimodular simplices. We show that the coprime Ehrhart function can be explicitly determined from the Ehrhart polynomial and we give some applications to combinatorial counting.

中文翻译：

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Coprime Ehrhart 理论和计数自由段

摘要

如果一个晶格多面体的顶点是它包含的唯一晶格点，则它是自由的（或空的）。在估值理论的背景下，Klain [16] 提出研究函数$\alpha_i(P;n)$，该函数计算$nP$ 中具有$i$ 顶点的自由多胞体的数量。对于 $i=1$，这是著名的 Ehrhart 多项式；对于$i> 3$，计算可能是不可能的；对于 $i=2,3$，它在计算上具有挑战性。在本文中，我们开发了互素 Ehrhart 函数的理论，该函数计算具有相对素数坐标的格点，并使用它来计算 $\alpha_2(P;n)$单模单纯形。我们证明了互质 Ehrhart 函数可以从 Ehrhart 多项式中明确地确定，并且我们给出了组合计数的一些应用。