Let $\Omega \subset{{\mathbb{R}}}^{n+1}$, $n\geq 2$, be an open set with Ahlfors regular boundary that satisfies the corkscrew condition. We consider a uniformly elliptic operator $L$ in divergence form associated with a matrix $A$ with real, merely bounded and possibly nonsymmetric coefficients, which are also locally Lipschitz and satisfy suitable Carleson type estimates. In this paper we show that if $L^*$ is the operator in divergence form associated with the transpose matrix of $A$, then $\partial \Omega $ is uniformly $n$-rectifiable if and only if every bounded solution of $Lu=0$ and every bounded solution of $L^*v=0$ in $\Omega $ is $\varepsilon $-approximable if and only if every bounded solution of $Lu=0$ and every bounded solution of $L^*v=0$ in $\Omega $ satisfies a suitable square-function Carleson measure estimate. Moreover, we obtain two additional criteria for uniform rectifiability. One is given in terms of the so-called “$S<N$” estimates, and another in terms of a suitable corona decomposition involving $L$-harmonic and $L^*$-harmonic measures. We also prove that if $L$-harmonic measure and $L^*$-harmonic measure satisfy a weak $A_\infty $-type condition, then $\partial \Omega $ is $n$-uniformly rectifiable. In the process we obtain a version of the Alt-Caffarelli-Friedman monotonicity formula for a fairly wide class of elliptic operators which is of independent interest and plays a fundamental role in our arguments.

中文翻译：

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通过 ACF 单调性公式的均匀可整流性、椭圆测度、平方函数和 ε-逼近性

令$\Omega \subset{{\mathbb{R}}}^{n+1}$, $n\geq 2$ 是满足开瓶器条件的Ahlfors 规则边界的开集。我们考虑一个散度形式的均匀椭圆算子 $L$，它与一个矩阵 $A$ 相关联，该矩阵具有实数、纯有界和可能的非对称系数，这些系数也是局部 Lipschitz 并满足合适的 Carleson 类型估计。在本文中，我们证明如果 $L^*$ 是与 $A$ 的转置矩阵相关的散度形式的算子，则 $\partial \Omega $ 是一致的 $n$-rectifiable 当且仅当$Lu=0$ 并且 $\Omega $ 中 $L^*v=0$ 的每个有界解是 $\varepsilon $-近似的当且仅当 $Lu=0$ 的每个有界解和 $L 的每个有界解$\Omega $ 中的 ^*v=0$ 满足合适的平方函数 Carleson 测度估计。而且，我们获得了两个额外的统一可纠正性标准。一个是根据所谓的“$S<N$”估计给出的，另一个是根据涉及 $L$-谐波和 $L^*$-谐波测量的合适电晕分解给出的。我们还证明了如果$L$-谐波测度和$L^*$-谐波测度满足弱$A_\infty $-型条件，则$\partial \Omega $是$n$-均匀可矫正的。在这个过程中，我们获得了一个版本的 Alt-Caffarelli-Friedman 单调性公式，它适用于相当广泛的椭圆算子，它具有独立的兴趣，并且在我们的论点中发挥着重要作用。我们还证明了如果$L$-谐波测度和$L^*$-谐波测度满足弱$A_\infty $-型条件，则$\partial \Omega $是$n$-均匀可矫正的。在这个过程中，我们获得了一个版本的 Alt-Caffarelli-Friedman 单调性公式，它适用于相当广泛的椭圆算子，它具有独立的兴趣，并且在我们的论点中发挥着重要作用。我们还证明了如果$L$-谐波测度和$L^*$-谐波测度满足弱$A_\infty $-型条件，则$\partial \Omega $是$n$-均匀可矫正的。在这个过程中，我们获得了一个版本的 Alt-Caffarelli-Friedman 单调性公式，它适用于相当广泛的椭圆算子，它具有独立的兴趣，并且在我们的论点中发挥着重要作用。