We first derive a double-weighted Hardy-Sobolev inequality with monomial weights on Euclidean space, then we establish the Gross’ type logarithmic Sobolev inequality with monomial weights using product structure. We will also study Moser-Onofri-Beckner inequality with monomial weights. Some best constants and extremals are also explicitly given.

中文翻译：

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具有单项式权重的加权 Hardy-Sobolev、Log-Sobolev 和 Moser-Onofri-Beckner 不等式

我们首先在欧几里得空间上推导出具有单项式权重的双加权Hardy-Sobolev不等式，然后我们使用乘积结构建立了具有单项式权重的Gross型对数Sobolev不等式。我们还将研究具有单项式权重的 Moser-Onofri-Beckner 不等式。还明确给出了一些最佳常数和极值。