Let $\Gamma$ denote a finite, simple, connected and bipartite graph. Fix a vertex $x$ of $\Gamma$ and let $T=T\left(x\right)$ denote the Terwilliger algebra of $\Gamma$ with respect to $x$. Assume that $x$ is a distance-regularized vertex, which is not a leaf. We consider the property that $\Gamma$ has, up to isomorphism, a unique irreducible $T$-module with endpoint 1, and that this $T$-module is thin. The main result of the paper is a combinatorial characterization of this property.

中文翻译：

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在只有一个不可约的二部图上 $吨$-带有端点 1 的模块，它很瘦

让 $\Gamma$表示有限的、简单的、连通的和二部图。固定一个顶点$X$ 的 $\Gamma$ 然后让 $吨=吨\left(X\right)$ 表示的 Terwilliger 代数 $\Gamma$ 关于 $X$. 假使，假设$X$是一个距离正则化的顶点，它不是叶子。我们考虑这样的性质$\Gamma$ 有，直到同构，一个独特的不可约 $吨$- 具有端点 1 的模块，并且这个 $吨$- 模块很薄。该论文的主要结果是对该特性的组合表征。