A classical regularity result is that non-negative solutions to the Dirichlet problem $\mathrm{\Delta }u=f$ in a bounded domain Ω, where $f\in L^q(\mathrm{\Omega })$, $q>\frac{n}{2}$, satisfy ${\Vert u\Vert }_{L^{\infty }(\mathrm{\Omega })}\le C{\Vert f\Vert }_{L^q(\mathrm{\Omega })}$. We extend this result in three ways: we replace the Laplacian with a degenerate elliptic operator; we show that we can take the data f in an Orlicz space $L^A(\mathrm{\Omega })$ that lies strictly between $L^{\frac{n}{2}}(\mathrm{\Omega })$ and $L^q(\mathrm{\Omega })$, $q>\frac{n}{2}$; and we show that we can replace the $L^A$ norm in the right-hand side by a smaller expression involving the logarithm of the “entropy bump” ${\Vert f\Vert }_{L^A(\mathrm{\Omega })}/{\Vert f\Vert }_{L^{\frac{n}{2}}(\mathrm{\Omega })}$, generalizing a result due to Xu.

中文翻译：

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Orlicz 空间中数据的椭圆偏微分方程的有界弱解

一个经典的正则结果是狄利克雷问题的非负解 $\mathrm{\Delta }你=F$ 在有界域Ω中，其中 $F\in {升}^q(\mathrm{\Omega })$, $q>\frac{n}{2}$, 满足 ${\Vert 你\Vert }_{{升}^{\infty }(\mathrm{\Omega })}\le C{\Vert F\Vert }_{{升}^q(\mathrm{\Omega })}$. 我们以三种方式扩展这个结果：我们用退化椭圆算子替换拉普拉斯算子；我们证明我们可以在 Orlicz 空间中获取数据f${升}^{\mathrm{一种}}(\mathrm{\Omega })$ 严格地介于 ${升}^{\frac{n}{2}}(\mathrm{\Omega })$ 和 ${升}^q(\mathrm{\Omega })$, $q>\frac{n}{2}$; 我们证明我们可以替换${升}^{\mathrm{一种}}$ 右侧的范数由一个更小的表达式涉及“熵凸点”的对数 ${\Vert F\Vert }_{{升}^{\mathrm{一种}}(\mathrm{\Omega })}/{\Vert F\Vert }_{{升}^{\frac{n}{2}}(\mathrm{\Omega })}$，概括了由于徐的结果。