We establish some regularity criteria for the solutions to the Navier–Stokes equations in the full three-dimensional space in terms of one directional derivative of the velocity field. Revising the method used by Zujin Zhang (2018), we show that a weak solution $u$ is regular on (0, T] provided that $\frac{\partial u}{\partial x_3}\in L^p(0,T;L^q\left({\mathbb{R}}^3\right))$ with $s=2$ for $3\le q\le 6$, $\frac{11}{6}<s\le 2$ for $6\le q\le \frac{6}{6s-11}$ where $s=\frac{2}{p}+\frac{3}{q}$. They improve the known results $\frac{2}{p}+\frac{3}{q}=\frac{3}{2}$ for $2\le q\le \infty$, $\frac{2}{p}+\frac{3}{q}\le \frac{8}{5}+\frac{9}{11q}$ for $\frac{5}{2}\le q<\infty$ and $\frac{2}{p}+\frac{3}{q}\le \frac{14}{11}+\frac{3}{5q}$ for $4\le q<\infty$ .

中文翻译：

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根据速度场的一个方向导数，纳维-斯托克斯方程的一些新的规律性判据

我们根据速度场的一个方向导数为全三维空间中纳维-斯托克斯方程的解建立了一些规律性标准。修改 Zujin Zhang (2018) 使用的方法，我们证明了一个弱解$你$ 在 (0, T] 上是正则的，前提是 $\frac{\partial 你}{\partial X_3}\in {升}^{磷}(0,吨;{升}^q\left({\mathbb{电阻}}^3\right))$ 和 $秒=2$ 为了 $3\le q\le 6$, $\frac{11}{6}<秒\le 2$ 为了 $6\le q\le \frac{6}{6秒-11}$ 在哪里 $秒=\frac{2}{磷}+\frac{3}{q}$. 他们改进了已知的结果$\frac{2}{磷}+\frac{3}{q}=\frac{3}{2}$ 为了 $2\le q\le \infty$, $\frac{2}{磷}+\frac{3}{q}\le \frac{8}{5}+\frac{9}{11q}$ 为了 $\frac{5}{2}\le q<\infty$ 和 $\frac{2}{磷}+\frac{3}{q}\le \frac{14}{11}+\frac{3}{5q}$ 为了 $4\le q<\infty$ .