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Slow–Fast Behaviors and Their Mechanism in a Periodically Excited Dynamical System with Double Hopf Bifurcations
International Journal of Bifurcation and Chaos ( IF 2.2 ) Pub Date : 2021-06-26 , DOI: 10.1142/s0218127421300226 Miaorong Zhang 1 , Xiaofang Zhang 1 , Qinsheng Bi 1
International Journal of Bifurcation and Chaos ( IF 2.2 ) Pub Date : 2021-06-26 , DOI: 10.1142/s0218127421300226 Miaorong Zhang 1 , Xiaofang Zhang 1 , Qinsheng Bi 1
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This paper focuses on the influence of two scales in the frequency domain on the behaviors of a typical dynamical system with a double Hopf bifurcation. By introducing an external periodic excitation to the normal form of the vector field with double Hopf bifurcation at the origin and taking the exciting frequency far less than the natural frequency, a theoretical model with two scales in the frequency domain is established. Regarding the whole exciting term as a slow-varying parameter leads to a generalized autonomous system, in which the equilibrium branches and their bifurcations with the variation of the slow-varying parameter can be derived. With the increase of the exciting amplitude, different types of bifurcations may be involved in the generalized autonomous system, resulting in several qualitatively different forms of bursting attractors, the mechanism of which is presented by overlapping the transformed phase portraits and the bifurcations of the equilibrium branches. It is found that the single mode 2D torus may evolve to the bursting attractors with mixed modes, in which the trajectory alternates between the single mode oscillations and the mixed mode oscillations. Furthermore, the transitions between the quiescent states and the spiking states may not occur exactly at the bifurcation points because of the slow passage effect, while Hopf bifurcations may cause different forms of repetitive spiking oscillations.
中文翻译:
双Hopf分岔周期激发动力系统的慢-快行为及其机理
本文重点研究频域中两个尺度对具有双 Hopf 分岔的典型动力系统行为的影响。通过在原点处具有双Hopf分岔的向量场的范式引入外部周期性激励,并取激励频率远小于固有频率,建立了频域两尺度的理论模型。将整个激动项视为一个慢变参数导致广义自治系统,其中可以导出平衡分支及其随着慢变参数变化的分支。随着激发幅度的增加,广义自治系统可能涉及不同类型的分岔,从而导致几种不同形式的突发吸引子,其机制是通过重叠变换的相图和平衡分支的分叉来呈现的。发现单模二维环面可以演化为具有混合模态的爆发吸引子,其轨迹在单模态振荡和混合模态振荡之间交替变化。此外,由于慢通道效应,静止状态和尖峰状态之间的转换可能不会完全发生在分岔点,而 Hopf 分岔可能会导致不同形式的重复尖峰振荡。其中轨迹在单模振荡和混合模振荡之间交替。此外,由于慢通道效应,静止状态和尖峰状态之间的转换可能不会完全发生在分岔点,而 Hopf 分岔可能会导致不同形式的重复尖峰振荡。其中轨迹在单模振荡和混合模振荡之间交替。此外,由于慢通道效应,静止状态和尖峰状态之间的转换可能不会完全发生在分岔点,而 Hopf 分岔可能会导致不同形式的重复尖峰振荡。
更新日期:2021-06-26
中文翻译:
双Hopf分岔周期激发动力系统的慢-快行为及其机理
本文重点研究频域中两个尺度对具有双 Hopf 分岔的典型动力系统行为的影响。通过在原点处具有双Hopf分岔的向量场的范式引入外部周期性激励,并取激励频率远小于固有频率,建立了频域两尺度的理论模型。将整个激动项视为一个慢变参数导致广义自治系统,其中可以导出平衡分支及其随着慢变参数变化的分支。随着激发幅度的增加,广义自治系统可能涉及不同类型的分岔,从而导致几种不同形式的突发吸引子,其机制是通过重叠变换的相图和平衡分支的分叉来呈现的。发现单模二维环面可以演化为具有混合模态的爆发吸引子,其轨迹在单模态振荡和混合模态振荡之间交替变化。此外,由于慢通道效应,静止状态和尖峰状态之间的转换可能不会完全发生在分岔点,而 Hopf 分岔可能会导致不同形式的重复尖峰振荡。其中轨迹在单模振荡和混合模振荡之间交替。此外,由于慢通道效应,静止状态和尖峰状态之间的转换可能不会完全发生在分岔点,而 Hopf 分岔可能会导致不同形式的重复尖峰振荡。其中轨迹在单模振荡和混合模振荡之间交替。此外,由于慢通道效应,静止状态和尖峰状态之间的转换可能不会完全发生在分岔点,而 Hopf 分岔可能会导致不同形式的重复尖峰振荡。