The stabilization properties of dissipative Timoshenko systems have been attracted the attention and efforts of researchers over the years. In the past 20 years, the studies in this scenario distinguished primarily by the nature of the coupling and the type or strength of damping. Particularly, under the premise that the Timoshenko beam model is a two-by-two system of hyperbolic equations, a large number of papers have been devoted to the study of the so-called partially damped Timoshenko systems by assuming damping effects acting only on the angle rotation or vertical displacement (Almeida Júnior et al. in Math Methods Appl Sci 36:1965–1976, 2013; in Z Angew Math Phys 65:1233–1249, 2014; Alves et al. in SIAM J Math Anal 51(6):4520–4543, 2019; Ammar-Khodja et al. in J Differ Equ 194:82–115, 2003; Muñoz Rivera and Racke in Discrete Contin Dyn Syst Ser B 9:1625–1639, 2003; J Math Anal Appl 341:1068–1083, 2008; Santos et al. in J Differ Equ 253(9):2715–2733, 2012). In these cases, the desired exponential decay property of the energy solutions is achieved when the non-physical equal wave speed assumption plays the role to stabilization according since the pioneering Soufyane’s paper (C R Acad Sci Paris 328(8):731–734, 1999). Recent results due to Almeida Júnior et al. (Z Angew Math Phys 68(145):1–31, 2017; Z Angew Math Mech 98(8):1320–1333, 2018; IMA J Appl Math 84(4):763–796, 2019; Acta Mech 231:3565–3581, 2020) show that the second vibration mode or simply second spectrum of frequency and it’s damaging consequences appears as a lost element in analysis of stabilization and now it’s more clear that the damping importance into stabilization scenario of Timoshenko type systems. This paper considers a one-dimensional viscoelastic Timoshenko type system in the light of the second spectrum of frequency where the equal wave speed assumption is not needed for getting the exponential decay property. Precisely, we consider the so-called truncated version for the Timoshenko system according studies due to Elishakoff (Advances in mathematical modelling and experimental methods for materials and structures, solid mechanics and its applications, Springer, Berlin, pp 249–254, 2010; ASME Am Soc Mech Eng Appl Mech Rev 67(6):1–11, 2015; Int J Solids Struct 109:143–151, 2017; J Sound Vib 435:409–430, 2017; Int J Eng Sci 116:58–73, 2017; Acta Mech 229:1649–1686, 2018; Z Angew Math Mech 98(8):1334–1368, 2018; Math Mech Solids, 2019) and we added a viscoelastic damping acting on shear force. We firstly prove the global well-posedness of the system by Faedo–Galerkin approximation. By assuming minimal conditions on the relaxation function, we establish an optimal explicit and energy decay rate for which exponential and polynomial rates are special cases. This result is new and substantially improves earlier results in the literature where the equal wave speeds plays the role for getting the stability properties. It is likely to open more research areas to Timoshenko system and probably others.

多年来，耗散铁木辛哥系统的稳定特性引起了研究人员的关注和努力。在过去的 20 年中，这种情况下的研究主要通过耦合的性质和阻尼的类型或强度来区分。特别是在 Timoshenko 梁模型是一个 2×2 双曲方程组的前提下，大量论文致力于通过假设阻尼效应仅作用于角度旋转或垂直位移（Almeida Júnior 等人，Math Methods Appl Sci 36:1965–1976, 2013；Z Angew Math Phys 65:1233–1249, 2014；Alves 等人，SIAM J Math Anal 51(6) :4520–4543, 2019；Ammar-Khodja 等人在 J Differ Equ 194:82–115, 2003 中；Muñoz Rivera 和 Racke 在 Discrete Contin Dyn Syst Ser B 9:1625–1639, 2003 中；J Math Anal Appl 341:1068–1083, 2008; 桑托斯等人。在 JDiffer Equ 253(9):2715–2733, 2012 中。在这些情况下，根据开创性的 Soufyane 的论文（CR Acad Sci Paris 328(8):731–734, 1999），当非物理等波速假设对稳定起到稳定作用时，能量解所需的指数衰减特性就实现了。 ）。由于 Almeida Júnior 等人的最新结果。（Z Angew Math Phys 68(145):1–31, 2017；Z Angew Math Mech 98(8):1320–1333, 2018；IMA J Appl Math 84(4):763–796, 2019；Acta Mech 231： 3565–3581, 2020 年）表明，第二振动模式或简单的第二频率频谱及其破坏性后果在稳定性分析中似乎是一个丢失的元素，现在更清楚的是，阻尼对 Timoshenko 型系统稳定场景的重要性。本文根据第二频谱考虑一维粘弹性 Timoshenko 型系统，其中不需要等波速度假设来获得指数衰减特性。准确地说，我们根据 Elishakoff 的研究（材料和结构、固体力学及其应用的数学建模和实验方法的进展，Springer，柏林，第 249-254 页，2010 年；ASME Am Soc Mech Eng Appl Mech Rev 67(6):1–11, 2015；Int J Solids Struct 109：143-151，2017；J Sound Vib 435:409–430, 2017; Int J Eng Sci 116:58–73, 2017; 机械学报 229:1649–1686, 2018; Z Angew Math Mech 98(8):1334–1368, 2018; Math Mech Solids，2019 年），我们添加了一个作用于剪切力的粘弹性阻尼。我们首先通过 Faedo-Galerkin 近似证明了系统的全局适定性。通过假设松弛函数的最小条件，我们建立了一个最优的显式和能量衰减率，其中指数和多项式速率是特殊情况。这个结果是新的，并且大大改进了文献中的早期结果，在这些结果中，相等的波速在获得稳定性特性方面发挥了作用。它可能会为 Timoshenko 系统和可能的其他系统打开更多的研究领域。Z Angew Math Mech 98(8):1334–1368, 2018; Math Mech Solids，2019 年），我们添加了一个作用于剪切力的粘弹性阻尼。我们首先通过 Faedo-Galerkin 近似证明了系统的全局适定性。通过假设松弛函数的最小条件，我们建立了一个最优的显式和能量衰减率，其中指数和多项式速率是特殊情况。这个结果是新的，并且大大改进了文献中的早期结果，在这些结果中，相等的波速在获得稳定性特性方面发挥了作用。它可能会为 Timoshenko 系统和可能的其他系统打开更多的研究领域。Z Angew Math Mech 98(8):1334–1368, 2018; Math Mech Solids，2019 年），我们添加了一个作用于剪切力的粘弹性阻尼。我们首先通过 Faedo-Galerkin 近似证明了系统的全局适定性。通过假设松弛函数的最小条件，我们建立了一个最优的显式和能量衰减率，其中指数和多项式速率是特殊情况。这个结果是新的，并且大大改进了文献中的早期结果，在这些结果中，等波速度对获得稳定性特性起着重要作用。它可能会为 Timoshenko 系统和可能的其他系统打开更多的研究领域。通过假设松弛函数的最小条件，我们建立了一个最优的显式和能量衰减率，其中指数和多项式速率是特殊情况。这个结果是新的，并且大大改进了文献中的早期结果，在这些结果中，相等的波速在获得稳定性特性方面发挥了作用。它可能会为 Timoshenko 系统和可能的其他系统打开更多的研究领域。通过假设松弛函数的最小条件，我们建立了一个最优的显式和能量衰减率，其中指数和多项式速率是特殊情况。这个结果是新的，并且大大改进了文献中的早期结果，在这些结果中，相等的波速在获得稳定性特性方面发挥了作用。它可能会为 Timoshenko 系统和可能的其他系统打开更多的研究领域。