For a graph G and a family of graphs $\mathcal{H}$, the Turán number $ex(G,\mathcal{H})$ is defined to be the maximum number of edges among all $\mathcal{H}$-free subgraphs of G. Inverting this problem, Briggs and Cox (2019) [5] studied the extremal function ${\epsilon }_{\mathcal{H}}(k)=sup\{e(G)|ex(G,\mathcal{H})<k\}$, where $e(G)$ is the size of G, and suggested to investigate the extremal function ${\phi }_{\mathcal{H}}(k)=sup\{\chi (G)|ex(G,\mathcal{H})<k\}$, where $\chi (G)$ denotes the chromatic number of G. Let $K_n$ be a complete graph of order n and H a given graph. In this paper, we establish a tight general upper bound for ${\phi }_H(k)$ and conjecture ${\phi }_H(k)=max\{n|ex(K_n,H)<k\}$ for $H\ne 2K_2$. We also confirm this conjecture for many instances of H.

对于图G和图族$\mathcal{H}$，图兰数 $\mathrm{电子}X(G,\mathcal{H})$ 定义为所有边中的最大边数 $\mathcal{H}$G 的-free 子图。Briggs and Cox (2019) [5] 研究了这个问题的极值函数${\epsilon }_{\mathcal{H}}(克)=秒你磷\{\mathrm{电子}(G)|\mathrm{电子}X(G,\mathcal{H})<克\}$， 在哪里 $\mathrm{电子}(G)$是G的大小，建议研究极值函数${\phi }_{\mathcal{H}}(克)=秒你磷\{\chi (G)|\mathrm{电子}X(G,\mathcal{H})<克\}$， 在哪里 $\chi (G)$表示G的色数。让${钾}_n$是顺序的一个完全图Ñ和ħ给定的曲线图。在本文中，我们为${\phi }_H(克)$ 和猜想 ${\phi }_H(克)=米\mathrm{一种}X\{n|\mathrm{电子}X({钾}_n,H)<克\}$ 为了 $H\ne 2{钾}_2$. 我们还对H 的许多实例证实了这一猜想。