This work presents a novel approach combining radial basis function (RBF) interpolation with Galerkin projection to efficiently solve general optimal control problems. The goal is to develop a highly flexible solution to optimal control problems, especially nonsmooth problems involving discontinuities, while accounting for trajectory accuracy and computational efficiency simultaneously. The proposed solution, called the RBF-Galerkin method, offers a highly flexible framework for direct transcription by using any interpolant functions from the broad class of global RBFs and any arbitrary discretization points that do not necessarily need to be on a mesh of points. The RBF-Galerkin costate mapping theorem is developed that describes an exact equivalency between the Karush-Kuhn-Tucker (KKT) conditions of the nonlinear programming problem resulted from the RBF-Galerkin method and the discretized form of the first-order necessary conditions of the optimal control problem, if a set of discrete conditions holds. The efficacy of the proposed method along with the accuracy of the RBF-Galerkin costate mapping theorem is confirmed against an analytical solution for a bang-bang optimal control problem. In addition, the proposed approach is compared against both local and global polynomial methods for a robot motion planning problem to verify its accuracy and computational efficiency.

中文翻译：

---

用于直接轨迹优化和协态估计的径向基函数插值和伽辽金投影

这项工作提出了一种将径向基函数 (RBF) 插值与 Galerkin 投影相结合的新方法，以有效解决一般最优控制问题。目标是开发一种高度灵活的解决方案来解决最优控制问题，尤其是涉及不连续性的非光滑问题，同时考虑到轨迹精度和计算效率。所提出的解决方案称为 RBF-Galerkin 方法，通过使用来自广泛类别的全局 RBF 的任何插值函数和任何不一定需要在点网格上的任意离散化点，为直接转录提供了一个高度灵活的框架。开发了 RBF-Galerkin costate 映射定理，该定理描述了由 RBF-Galerkin 方法产生的非线性规划问题的 Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件与方程的一阶必要条件的离散形式之间的精确等价关系。最优控制问题，如果一组离散条件成立。所提出的方法的有效性以及 RBF-Galerkin costate 映射定理的准确性得到了针对 bang-bang 最优控制问题的解析解的证实。此外，将所提出的方法与机器人运动规划问题的局部和全局多项式方法进行比较，以验证其准确性和计算效率。如果一组离散条件成立。所提出的方法的有效性以及 RBF-Galerkin costate 映射定理的准确性得到了针对 bang-bang 最优控制问题的解析解的证实。此外，将所提出的方法与机器人运动规划问题的局部和全局多项式方法进行比较，以验证其准确性和计算效率。如果一组离散条件成立。所提出的方法的有效性以及 RBF-Galerkin costate 映射定理的准确性得到了针对 bang-bang 最优控制问题的解析解的证实。此外，将所提出的方法与机器人运动规划问题的局部和全局多项式方法进行比较，以验证其准确性和计算效率。